Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvalo en los casos en que es compatible determinado e indeterminado: [2 puntos]

$\begin{cases} x+(a+1)y+z=a, \\ x+y+(a+1)z=a, \\ (a+1)x+y+z=a. \end{cases}$

$\textbf{Estudie el sistema } \boldsymbol{\begin{cases} x+(a+1)y+z=a \\ x+y+(a+1)z=a \\ (a+1)x+y+z=a \end{cases}}\textbf{ y resuélvalo en los casos en que es compatible determinado e indeterminado. [2 puntos]}$

Se comparan los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada.

$M=\begin{pmatrix} 1 & a+1 & 1 \\ 1 & 1 & a+1 \\ a+1 & 1 & 1 \end{pmatrix},\qquad M'=\begin{pmatrix} 1 & a+1 & 1 & a \\ 1 & 1 & a+1 & a \\ a+1 & 1 & 1 & a \end{pmatrix}$

Para el determinante conviene sumar a la primera columna las otras dos, porque las tres filas suman lo mismo:

$|M|=\begin{vmatrix} 1 & a+1 & 1 \\ 1 & 1 & a+1 \\ a+1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a+3 & a+1 & 1 \\ a+3 & 1 & a+1 \\ a+3 & 1 & 1 \end{vmatrix}=(a+3)\begin{vmatrix} 1 & a+1 & 1 \\ 1 & 1 & a+1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

Restando la tercera fila a las otras dos:

$=(a+3)\begin{vmatrix} 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=(a+3)\cdot 1\cdot\begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{vmatrix}=a^{2}(a+3)$

$|M|=0 \Rightarrow a=0 \quad\text{o}\quad a=-3$

$\textbf{Si } \boldsymbol{a\neq 0}\textbf{ y } \boldsymbol{a\neq -3}\textbf{: compatible determinado.}$

Entonces $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=3=\text{número de incógnitas}$. Para resolverlo se aprovecha la simetría del sistema: sumando las tres ecuaciones,

$(a+3)(x+y+z)=3a \Rightarrow x+y+z=\dfrac{3a}{a+3}$

La primera ecuación se puede escribir como $(x+y+z)+a\,y=a$, de donde

$a\,y=a-\dfrac{3a}{a+3}=\dfrac{a^{2}}{a+3} \Rightarrow y=\dfrac{a}{a+3}$

Con las otras dos ecuaciones se razona igual y se obtiene lo mismo para $x$ y para $z$:

$x=y=z=\dfrac{a}{a+3}$

$\textbf{Si } \boldsymbol{a=0}\textbf{: compatible indeterminado.}$

Las tres ecuaciones se convierten en la misma:

$\begin{cases} x+y+z=0 \\ x+y+z=0 \\ x+y+z=0 \end{cases}$

$\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=1<3$: sistema compatible indeterminado con dos grados de libertad. Los tres planos coinciden. Tomando $y=\lambda$ y $z=\mu$:

$(x,y,z)=(-\lambda-\mu,\ \lambda,\ \mu),\qquad \lambda,\mu\in\mathbb{R}$

$\textbf{Si } \boldsymbol{a=-3}\textbf{: incompatible.}$

El sistema queda

$\begin{cases} x-2y+z=-3 \\ x+y-2z=-3 \\ -2x+y+z=-3 \end{cases}$

El menor $\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=3\neq 0$ da $\operatorname{ran}(M)=2$. Ahora bien, sumando las tres ecuaciones los primeros miembros se cancelan por completo y queda $0=-9$, que es imposible; por tanto $\operatorname{ran}(M')=3$ y el sistema es incompatible.