Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule los siguientes límites: [2 puntos]

i) $\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(e^{x}+x^{3}\right)^{\frac{1}{x}}$

ii) $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}-1}{x+2}-\frac{x^{2}+1}{x-2}\right)$

$\textbf{i) } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(e^{x}+x^{3}\right)^{\frac{1}{x}}}$

Se sustituye para reconocer la indeterminación:

$\left(e^{0}+0\right)^{\frac{1}{0}}=1^{\infty}$

Es la indeterminación del número $e$. Se aplica la regla habitual, según la cual si $\lim u(x)=1$ y $\lim v(x)=\infty$, entonces

$\lim u(x)^{v(x)}=e^{\lim v(x)\left[u(x)-1\right]}$

$\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x}\left(e^{x}+x^{3}-1\right)=\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1}{x}+\lim_{x\to 0}x^{2}$

El segundo sumando vale 0. El primero es una indeterminación $\frac{0}{0}$ que se resuelve por la regla de L'Hôpital:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}}{1}=1$

$\lim_{x\to 0}\left(e^{x}+x^{3}\right)^{\frac{1}{x}}=e^{1}=e$

$\textbf{ii) } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^{2}-1}{x+2}-\frac{x^{2}+1}{x-2}\right)}$

Cada fracción tiende a infinito, así que aparece la indeterminación $\infty-\infty$. Se elimina reduciendo a común denominador.

$\dfrac{x^{2}-1}{x+2}-\dfrac{x^{2}+1}{x-2}=\dfrac{\left(x^{2}-1\right)(x-2)-\left(x^{2}+1\right)(x+2)}{(x+2)(x-2)}$

Se desarrolla el numerador:

$\left(x^{3}-2x^{2}-x+2\right)-\left(x^{3}+2x^{2}+x+2\right)=-4x^{2}-2x$

$\lim_{x\to\infty}\dfrac{-4x^{2}-2x}{x^{2}-4}=-4$

porque numerador y denominador tienen el mismo grado y el límite es el cociente de los coeficientes principales.

Los límites pedidos valen $e$ y $-4$.