Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2023

Sea $f(x)=\dfrac{x}{(x-2)(x-1)}$. [2 puntos]

i) Halle el dominio y las asíntotas verticales y horizontales de la función $f$, en caso de que existan.

ii) Halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos si los hubiera.

$\textbf{i) Halle el dominio y las asíntotas verticales y horizontales de la función } \boldsymbol{f(x)=\dfrac{x}{(x-2)(x-1)}}\textbf{, en caso de que existan.}$

Se trata de una función racional, definida en todo punto en el que el denominador no se anule.

$(x-2)(x-1)=0 \Rightarrow x=2 \ \text{o}\ x=1$

$\text{Dom}\,f=\mathbb{R}-\{1,\,2\}$

Las candidatas a asíntota vertical son precisamente esas dos abscisas, porque en ellas el denominador se anula sin que lo haga el numerador.

$\lim_{x\to 1}\dfrac{x}{(x-2)(x-1)}=\dfrac{1}{(-1)\cdot 0}=\infty \Rightarrow x=1 \ \text{es asíntota vertical}$

$\lim_{x\to 2}\dfrac{x}{(x-2)(x-1)}=\dfrac{2}{0\cdot 1}=\infty \Rightarrow x=2 \ \text{es asíntota vertical}$

Para la asíntota horizontal se compara el grado del numerador, 1, con el del denominador, 2:

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x}{x^{2}-3x+2}=0 \Rightarrow y=0 \ \text{es asíntota horizontal}$

Como hay asíntota horizontal en las dos ramas, no puede haber asíntota oblicua.

$\textbf{ii) Halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos si los hubiera.}$

Se deriva aplicando la regla del cociente, escribiendo antes el denominador desarrollado:

$f(x)=\dfrac{x}{x^{2}-3x+2}$

$f'(x)=\dfrac{\left(x^{2}-3x+2\right)-x(2x-3)}{\left(x^{2}-3x+2\right)^{2}}=\dfrac{x^{2}-3x+2-2x^{2}+3x}{\left(x^{2}-3x+2\right)^{2}}=\dfrac{2-x^{2}}{\left(x^{2}-3x+2\right)^{2}}$

El denominador es un cuadrado, positivo en todo el dominio, de modo que el signo de $f'(x)$ es el del numerador.

$2-x^{2}=0 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2}$

Los dos valores están en el dominio, y hay que añadir a la recta de signos los dos puntos excluidos, $x=1$ y $x=2$, porque en ellos la función se rompe. Obsérvese que $1<\sqrt{2}\approx 1{,}414<2$.



Con el numerador $2-x^{2}$, que es positivo entre las dos raíces y negativo fuera, resulta:

$f$ es decreciente en $\left(-\infty,-\sqrt{2}\right)$, creciente en $\left(-\sqrt{2},1\right)$ y en $\left(1,\sqrt{2}\right)$, y decreciente en $\left(\sqrt{2},2\right)$ y en $(2,+\infty)$.

En $x=-\sqrt{2}$ la función pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo; en $x=\sqrt{2}$ pasa de crecer a decrecer, luego hay un máximo relativo. Se calculan las ordenadas:

$f\left(-\sqrt{2}\right)=\dfrac{-\sqrt{2}}{\left(-\sqrt{2}-2\right)\left(-\sqrt{2}-1\right)}=\dfrac{-\sqrt{2}}{4+3\sqrt{2}}=2\sqrt{2}-3\approx -0{,}1716$

$f\left(\sqrt{2}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}=\dfrac{\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}}=-3-2\sqrt{2}\approx -5{,}8284$

Hay un mínimo relativo en $\left(-\sqrt{2},\ 2\sqrt{2}-3\right)$ y un máximo relativo en $\left(\sqrt{2},\ -3-2\sqrt{2}\right)$. No hay contradicción en que el valor del mínimo sea mayor que el del máximo: cada uno está en una rama distinta de la gráfica, separadas por las asíntotas verticales.