Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Dado el punto $P(2,\,-1,\,3)$, halle las ecuaciones de los siguientes planos que contienen a $P$: [2 puntos]

i) Paralelo a $\pi \equiv 4x+3y-2z+4=0$.

ii) Perpendicular a la recta $r \equiv \dfrac{x-3}{3}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+2}{-4}$.

Los dos planos pedidos pasan por el mismo punto $P(2,-1,3)$ y se diferencian solo en el vector normal, que en cada caso lo da la condición geométrica del apartado.

$\textbf{i) Paralelo a } \boldsymbol{\pi\equiv 4x+3y-2z+4=0}\textbf{.}$

Dos planos paralelos tienen vectores normales proporcionales, así que se puede tomar directamente el del plano dado:

$\vec n=(4,3,-2) \Rightarrow 4x+3y-2z+D=0$

Se impone que $P$ pertenezca al plano para determinar $D$:

$4\cdot 2+3\cdot(-1)-2\cdot 3+D=0 \Rightarrow 8-3-6+D=0 \Rightarrow D=1$

$4x+3y-2z+1=0$

Es paralelo a $\pi$ y distinto de él, porque los términos independientes, 1 y 4, no son proporcionales a los demás coeficientes en la misma razón.

$\textbf{ii) Perpendicular a la recta } \boldsymbol{r\equiv\dfrac{x-3}{3}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+2}{-4}}\textbf{.}$

Si el plano es perpendicular a la recta, el vector director de la recta es un vector normal del plano. De la ecuación continua se lee ese director en los denominadores:

$\vec v_{r}=(3,2,-4) \Rightarrow 3x+2y-4z+D=0$



Imponiendo de nuevo que pase por $P$:

$3\cdot 2+2\cdot(-1)-4\cdot 3+D=0 \Rightarrow 6-2-12+D=0 \Rightarrow D=8$

$3x+2y-4z+8=0$

Los planos pedidos son $4x+3y-2z+1=0$ y $3x+2y-4z+8=0$.