Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Dados los planos de ecuaciones [2 puntos]

$\begin{cases} ax+y+z=a^{2}, \\ x-y+z=1, \\ 3x-y-z=1, \\ 6x-y+z=3a, \end{cases}$

analice su posición relativa según los valores del parámetro $a$.

$\textbf{Dados los planos } \boldsymbol{ax+y+z=a^{2}}\textbf{, } \boldsymbol{x-y+z=1}\textbf{, } \boldsymbol{3x-y-z=1}\textbf{ y } \boldsymbol{6x-y+z=3a}\textbf{, analice su posición relativa según los valores del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{. [2 puntos]}$

Son cuatro planos y tres incógnitas, de modo que el sistema tiene más ecuaciones que incógnitas y la matriz de coeficientes es $4\times 3$: su rango vale como mucho 3.

$M=\begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \\ 6 & -1 & 1 \end{pmatrix},\qquad M'=\begin{pmatrix} a & 1 & 1 & a^{2} \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 & 1 \\ 6 & -1 & 1 & 3a \end{pmatrix}$

Conviene empezar por las tres últimas filas, porque no dependen del parámetro:

$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \\ 6 & -1 & 1 \end{vmatrix}=1(-1-1)+1(3+6)+1(-3+6)=-2+9+3=10\neq 0$

Por tanto $\operatorname{ran}(M)=3$ cualquiera que sea $a$, y los tres últimos planos se cortan siempre en un único punto. Se calcula ese punto en función de $a$. Restando la segunda de las tres ecuaciones a la tercera:

$(6x-y+z)-(x-y+z)=3a-1 \Rightarrow 5x=3a-1 \Rightarrow x=\dfrac{3a-1}{5}$

Sumando las dos primeras de esas tres:

$4x-2y=2 \Rightarrow y=2x-1=\dfrac{6a-7}{5}$

Y de $x-y+z=1$:

$z=1-x+y=1-\dfrac{3a-1}{5}+\dfrac{6a-7}{5}=\dfrac{3a-1}{5}$

$P\left(\dfrac{3a-1}{5},\ \dfrac{6a-7}{5},\ \dfrac{3a-1}{5}\right)$

Los cuatro planos tendrán un punto común únicamente si $P$ pertenece también al primero. Se impone la condición:

$a\cdot\dfrac{3a-1}{5}+\dfrac{6a-7}{5}+\dfrac{3a-1}{5}=a^{2}$

$3a^{2}-a+6a-7+3a-1=5a^{2}$

$2a^{2}-8a+8=0 \Rightarrow a^{2}-4a+4=0 \Rightarrow (a-2)^{2}=0 \Rightarrow a=2$

Se distinguen entonces dos casos:

$\textbf{Si } \boldsymbol{a=2}\textbf{.}$

El punto $P$ es $\left(\frac{5}{5},\frac{5}{5},\frac{5}{5}\right)=(1,1,1)$ y pertenece a los cuatro planos, como se comprueba directamente: $2+1+1=4=2^{2}$, $1-1+1=1$, $3-1-1=1$ y $6-1+1=6=3\cdot 2$. Los rangos son $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=3=\text{número de incógnitas}$: sistema compatible determinado. Los cuatro planos se cortan en el único punto $(1,1,1)$.

$\textbf{Si } \boldsymbol{a\neq 2}\textbf{.}$

El punto $P$ no está en el primer plano, luego no hay ningún punto común a los cuatro. Ahora $\operatorname{ran}(M)=3$ pero $\operatorname{ran}(M')=4$, y el sistema es incompatible. Los tres últimos planos siguen cortándose en $P$ y el primero pasa de largo, sin contener ese punto.

Merece la pena señalar un caso particular dentro de este: para $a=-3$ el vector normal del primer plano, $(-3,1,1)$, es opuesto al del tercero, $(3,-1,-1)$, de modo que esos dos planos son paralelos; y son distintos, porque el primero se escribe $-3x+y+z=9$ y el tercero, $-3x+y+z=-1$.