Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$: [2 puntos]

$\begin{cases} x-y+az=a, \\ ax+y-z=a, \\ (a+1)x+z=a+2, \end{cases}$

halle la matriz $A^{-1}b$ sin calcular la matriz inversa de $A$, siendo $A$ la matriz de coeficientes y $b$ la de términos independientes.

$\textbf{Dado el sistema } \boldsymbol{\begin{cases} x-y+az=a \\ ax+y-z=a \\ (a+1)x+z=a+2 \end{cases}}\textbf{, halle la matriz } \boldsymbol{A^{-1}b}\textbf{ sin calcular la matriz inversa de } \boldsymbol{A}\textbf{. [2 puntos]}$

Escrito en forma matricial el sistema es $AX=b$, con

$A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & a \\ a & 1 & -1 \\ a+1 & 0 & 1 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix} a \\ a \\ a+2 \end{pmatrix}$

Si $A$ tiene inversa, multiplicando por la izquierda por $A^{-1}$ se obtiene $X=A^{-1}b$: la matriz que se pide es exactamente la solución del sistema. Basta, pues, resolverlo, y así no se calcula ninguna inversa.

Primero, la condición para que $A^{-1}$ exista. Desarrollando el determinante por la última fila:

$|A|=(a+1)\begin{vmatrix} -1 & a \\ 1 & -1 \end{vmatrix}-0+1\cdot\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ a & 1 \end{vmatrix}$

$=(a+1)(1-a)+(1+a)=(a+1)(1-a+1)=(a+1)(2-a)$

$|A|=0 \Rightarrow a=-1 \quad\text{o}\quad a=2$

De modo que $A^{-1}$ existe si $a\neq -1$ y $a\neq 2$, y en ese caso el sistema es compatible determinado y se puede resolver por la regla de Cramer.

$\Delta_{x}=\begin{vmatrix} a & -1 & a \\ a & 1 & -1 \\ a+2 & 0 & 1 \end{vmatrix}=a+2a+2-a^{2}-2a=-a^{2}+a+2$

$\Delta_{y}=\begin{vmatrix} 1 & a & a \\ a & a & -1 \\ a+1 & a+2 & 1 \end{vmatrix}=(2a+2)-a(2a+1)+a^{2}=-a^{2}+a+2$

$\Delta_{z}=\begin{vmatrix} 1 & -1 & a \\ a & 1 & a \\ a+1 & 0 & a+2 \end{vmatrix}=(a+2)+a-a^{2}-a=-a^{2}+a+2$

Los tres determinantes coinciden con $|A|=(a+1)(2-a)=-a^{2}+a+2$, de manera que

$x=\dfrac{\Delta_{x}}{|A|}=1,\qquad y=\dfrac{\Delta_{y}}{|A|}=1,\qquad z=\dfrac{\Delta_{z}}{|A|}=1$

Se comprueba en las tres ecuaciones: $1-1+a=a$, $a+1-1=a$ y $(a+1)+1=a+2$, que se cumplen para cualquier valor de $a$.

Por lo tanto, para todo $a\neq -1$ y $a\neq 2$,

$A^{-1}b=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$