Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2024

Dada la función $f(x)=(1-x^{2})\tan(x)$, demuestre que tiene un máximo relativo en el intervalo $\left(0,\,\frac{\pi}{2}\right)$. [2 puntos]

$\textbf{Dada la función } \boldsymbol{f(x)=(1-x^{2})\tan(x)}\textbf{, demuestre que tiene un máximo relativo en el intervalo } \boldsymbol{\left(0,\,\frac{\pi}{2}\right)}\textbf{. [2 puntos]}$

No se pide localizar el máximo —la ecuación $f'(x)=0$ no se resuelve con funciones elementales—, sino demostrar que existe. El argumento es el teorema de Weierstrass aplicado a un intervalo cerrado bien elegido dentro de $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$.

i) Se elige el intervalo $[0,1]$, que está contenido en $\left[0,\frac{\pi}{2}\right)$ porque $1<\dfrac{\pi}{2}\approx 1{,}5708$. En él la función es continua: el factor $1-x^{2}$ es un polinomio y $\tan x$ es continua en todo punto donde el coseno no se anula, lo que en $[0,1]$ no ocurre.

ii) Se evalúa la función en los extremos y se estudia su signo dentro:

$f(0)=(1-0)\tan 0=0$

$f(1)=(1-1^{2})\tan 1=0\cdot\tan 1=0$

Para $0<x<1$ se cumple $1-x^{2}>0$, y también $\tan x>0$ por estar $x$ en el primer cuadrante. El producto de dos números positivos es positivo:

$f(x)>0 \quad \text{para todo } x\in(0,1)$

iii) Por el teorema de Weierstrass, una función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en él su máximo absoluto. Ese máximo no puede alcanzarse en $x=0$ ni en $x=1$, porque allí la función vale 0 y en el interior toma valores positivos. Por lo tanto se alcanza en un punto $c\in(0,1)$.

iv) En $c$ la función es derivable y tiene un máximo, luego $f'(c)=0$ y ese máximo absoluto de $[0,1]$ es, en particular, un máximo relativo de $f$. Como $(0,1)\subset\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$, queda demostrado lo pedido.



La función tiene, pues, un máximo relativo en el intervalo $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$. Resolviendo numéricamente $f'(x)=-2x\tan x+\dfrac{1-x^{2}}{\cos^{2}x}=0$ se obtiene $c\approx 0{,}6313$, con $f(c)\approx 0{,}4397$, pero el enunciado no pide ese valor.