Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2024

Escriba, si existen, las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva $f(x)=|x|\exp(-x)$ en los puntos de abscisa $x=0$ y $x=-1$. [2 puntos]

$\textbf{Escriba, si existen, las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva } \boldsymbol{f(x)=|x|\exp(-x)}\textbf{ en los puntos de abscisa } \boldsymbol{x=0}\textbf{ y } \boldsymbol{x=-1}\textbf{. [2 puntos]}$

Como aparece un valor absoluto, lo primero es escribir la función a trozos partiendo por el punto en que cambia de signo lo que hay dentro:

$f(x)=|x|e^{-x}=\begin{cases} -x\,e^{-x} & \text{si } x<0 \\ x\,e^{-x} & \text{si } x\geq 0 \end{cases}$

Se deriva cada rama por separado, aplicando la regla del producto:

$f'(x)=\begin{cases} -e^{-x}+x\,e^{-x}=e^{-x}(x-1) & \text{si } x<0 \\ e^{-x}-x\,e^{-x}=e^{-x}(1-x) & \text{si } x>0 \end{cases}$

En $x=0$ hay que comprobar si la función es derivable, porque solo entonces existe recta tangente. Se calculan las dos derivadas laterales:

$f'(0^{-})=e^{0}(0-1)=-1,\qquad f'(0^{+})=e^{0}(1-0)=1$

Las derivadas laterales existen pero no coinciden, luego $f$ no es derivable en $x=0$: la gráfica presenta ahí un punto anguloso y no hay recta tangente en $x=0$.

En $x=-1$ se usa la rama de la izquierda, donde la función sí es derivable.

$f(-1)=|-1|\,e^{1}=e$

$f'(-1)=e^{1}(-1-1)=-2e$

Con el punto $(-1,e)$ y la pendiente $-2e$:

$y-e=-2e\,(x+1)$

$y=-2ex-2e+e=-2ex-e$



En $x=0$ no existe recta tangente, y en $x=-1$ la recta tangente es $y=-2ex-e$.