Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2024

En un examen de matemáticas, las puntuaciones tipificadas de dos estudiantes fueron $0{,}6$ y $-0{,}8$, y sus notas reales, 94 y 73, respectivamente. Calcule: [2 puntos]

i) La media y la desviación típica de las puntuaciones del examen, que siguen una distribución normal.

ii) Entre qué puntuaciones alrededor de la media está la nota del 60 % de los estudiantes.

Utilice la tabla de la distribución normal tipificada.

Se llama $X$ a la puntuación del examen, que según el enunciado sigue una distribución $N(\mu,\sigma)$.

$\textbf{i) La media y la desviación típica de las puntuaciones del examen, que siguen una distribución normal.}$

Tipificar una puntuación es restarle la media y dividir por la desviación típica, de modo que cada estudiante aporta una ecuación:

$z=\dfrac{x-\mu}{\sigma} \Rightarrow x=\mu+z\sigma$

$\begin{cases} 94=\mu+0{,}6\,\sigma \\ 73=\mu-0{,}8\,\sigma \end{cases}$

Restando la segunda ecuación de la primera desaparece la media:

$21=1{,}4\,\sigma \Rightarrow \sigma=\dfrac{21}{1{,}4}=15$

$\mu=94-0{,}6\cdot 15=94-9=85$

La media del examen es de $85$ puntos y la desviación típica, de $15$ puntos.

$\textbf{ii) Entre qué puntuaciones alrededor de la media está la nota del 60 \% de los estudiantes.}$

Se busca un intervalo centrado en la media, $(\mu-k,\ \mu+k)$, que deje dentro el 60 % de los datos. Tipificando, el intervalo es simétrico respecto de cero y las dos colas se reparten el 40 % restante, un 20 % cada una:

$P(-z_{0}<Z<z_{0})=0{,}60 \Rightarrow P(Z\leq z_{0})=0{,}60+0{,}20=0{,}80$

En la tabla de la normal tipificada el valor 0,80 se alcanza entre 0,7995 y 0,8023, y el más próximo es el primero:

$z_{0}=0{,}84$



Deshaciendo la tipificación:

$\mu\pm z_{0}\,\sigma=85\pm 0{,}84\cdot 15=85\pm 12{,}6$

El 60 % de los estudiantes obtuvo una puntuación comprendida entre $72{,}4$ y $97{,}6$ puntos.