Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Halle la ecuación continua de la recta $s$ que está contenida en el plano $\pi \equiv x+y-2z+1=0$ y corta perpendicularmente a la recta [2 puntos]

$r \equiv \begin{cases} x+y+z=-1, \\ 4x-y+z=3. \end{cases}$

$\textbf{Halle la ecuación continua de la recta } \boldsymbol{s}\textbf{ que está contenida en el plano } \boldsymbol{\pi\equiv x+y-2z+1=0}\textbf{ y corta perpendicularmente a la recta } \boldsymbol{r\equiv\begin{cases} x+y+z=-1 \\ 4x-y+z=3 \end{cases}}\textbf{. [2 puntos]}$

La recta buscada queda determinada por dos cosas: su dirección, que sale de las dos condiciones de perpendicularidad, y un punto, que ha de ser el único punto que $r$ y $\pi$ tienen en común.

i) Se obtiene un vector director de $r$. Al venir dada como intersección de dos planos, su director es perpendicular a los dos normales, es decir, su producto vectorial:

$\vec n_{1}=(1,1,1),\qquad \vec n_{2}=(4,-1,1)$

$\vec v_{r}=\vec n_{1}\times\vec n_{2}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & 1 \end{vmatrix}=(1+1,\ 4-1,\ -1-4)=(2,3,-5)$

ii) Se obtiene un vector director de $s$. Como $s$ está contenida en $\pi$, su director es perpendicular a $\vec n_{\pi}=(1,1,-2)$; y como corta perpendicularmente a $r$, también lo es a $\vec v_{r}$. El producto vectorial de los dos da la dirección:

$\vec v_{s}=\vec n_{\pi}\times\vec v_{r}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & -5 \end{vmatrix}=(-5+6,\ -4+5,\ 3-2)=(1,1,1)$

Se comprueban las dos condiciones: $(1,1,1)\cdot(1,1,-2)=0$ y $(1,1,1)\cdot(2,3,-5)=0$.

iii) Se obtiene el punto de paso. La recta $s$ corta a $r$ y está dentro de $\pi$, luego ese punto de corte pertenece a la vez a $r$ y a $\pi$. Se resuelve el sistema formado por las tres ecuaciones:

$\begin{cases} x+y+z=-1 \\ 4x-y+z=3 \\ x+y-2z+1=0 \end{cases}$

Restando la tercera de la primera queda $3z=-2+2$, es decir, $z=0$. Con $z=0$ las dos primeras dan

$\begin{cases} x+y=-1 \\ 4x-y=3 \end{cases} \Rightarrow 5x=2 \Rightarrow x=\dfrac{2}{5},\quad y=-\dfrac{7}{5}$

$P\left(\dfrac{2}{5},\ -\dfrac{7}{5},\ 0\right)$



Con el punto y el director se escribe la ecuación continua pedida:

$s\equiv\dfrac{x-\frac{2}{5}}{1}=\dfrac{y+\frac{7}{5}}{1}=\dfrac{z}{1}$