Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Determine los valores de $a$ para que los planos de ecuaciones [2 puntos]

$\begin{cases} \pi_1 \equiv x+y+z=a-1, \\ \pi_2 \equiv 2x+y+az=a, \\ \pi_3 \equiv x+ay+z=1, \end{cases}$

i) se corten en un punto.

ii) se corten en una recta.

iii) no se corten.

$\textbf{Determine los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ para que los planos } \boldsymbol{\pi_1\equiv x+y+z=a-1}\textbf{, } \boldsymbol{\pi_2\equiv 2x+y+az=a}\textbf{ y } \boldsymbol{\pi_3\equiv x+ay+z=1}\textbf{ se corten en un punto, se corten en una recta o no se corten. [2 puntos]}$

La posición relativa de tres planos es el carácter del sistema que forman sus tres ecuaciones, de modo que se discute el sistema comparando los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada.

$M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \end{pmatrix},\qquad M'=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & a-1 \\ 2 & 1 & a & a \\ 1 & a & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Se empieza por el determinante de la matriz de coeficientes, desarrollándolo por la primera fila:

$|M|=1\left(1-a^{2}\right)-1\left(2-a\right)+1\left(2a-1\right)$

$=1-a^{2}-2+a+2a-1=-a^{2}+3a-2=-(a-1)(a-2)$

$|M|=0 \Rightarrow a=1 \quad\text{o}\quad a=2$

$\textbf{i) Se cortan en un punto.}$

Si $a\neq 1$ y $a\neq 2$, entonces $|M|\neq 0$ y $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=3=\text{número de incógnitas}$: el sistema es compatible determinado y los tres planos se cortan en un único punto. Resolviéndolo por Cramer se obtiene

$x=a+1,\qquad y=\dfrac{2-a}{a-1},\qquad z=\dfrac{-a}{a-1}$

$\textbf{ii) Se cortan en una recta.}$

Para $a=2$ el sistema es

$\begin{cases} x+y+z=1 \\ 2x+y+2z=2 \\ x+2y+z=1 \end{cases}$

El menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=-1\neq 0$ da $\operatorname{ran}(M)=2$. Restando el doble de la primera ecuación a la segunda queda $-y=0$, y restando la primera a la tercera queda $y=0$: las dos condiciones son compatibles, así que $\operatorname{ran}(M')=2$ también.

$\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=2<3$

El sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad: los tres planos se cortan en una recta, la de ecuaciones $y=0$, $x+z=1$.

$\textbf{iii) No se cortan.}$

Para $a=1$ el sistema es

$\begin{cases} x+y+z=0 \\ 2x+y+z=1 \\ x+y+z=1 \end{cases}$

La primera y la tercera ecuación tienen el mismo primer miembro y distinto segundo miembro: $\pi_1$ y $\pi_3$ son planos paralelos y distintos, de modo que no hay ningún punto común a los tres. Con los rangos, $\operatorname{ran}(M)=2$ y $\operatorname{ran}(M')=3$, y el sistema es incompatible.

En resumen: los tres planos se cortan en un punto si $a\neq 1$ y $a\neq 2$, se cortan en una recta si $a=2$ y no tienen ningún punto común si $a=1$.