Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2024

Dada la matriz $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, halle dos matrices $B$ y $C$ que satisfagan las siguientes ecuaciones: [2 puntos]

$\begin{cases} B+C^{-1}=A, \\ B-C^{-1}=A^{T}, \end{cases}$

donde $A^{T}$ denota la matriz traspuesta de $A$.

$\textbf{Dada la matriz } \boldsymbol{A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}}\textbf{, halle dos matrices } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{ que satisfagan } \boldsymbol{\begin{cases} B+C^{-1}=A \\ B-C^{-1}=A^{T} \end{cases}}\textbf{. [2 puntos]}$

El sistema es lineal en las incógnitas matriciales $B$ y $C^{-1}$, así que se resuelve como un sistema numérico de dos ecuaciones: sumando se despeja $B$ y restando se despeja $C^{-1}$.

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix},\qquad A^{T}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

Sumando las dos ecuaciones:

$2B=A+A^{T}=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow B=\begin{pmatrix} 1 & 3/2 \\ 3/2 & 1 \end{pmatrix}$

Restando la segunda de la primera:

$2C^{-1}=A-A^{T}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow C^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & -1/2 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix}$

Falta despejar $C$, que es la inversa de la matriz anterior. Su determinante es

$\left|C^{-1}\right|=\begin{vmatrix} 0 & -1/2 \\ 1/2 & 0 \end{vmatrix}=0-\left(-\dfrac{1}{2}\right)\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\neq 0$

y para una matriz de orden 2 la inversa se obtiene intercambiando la diagonal principal, cambiando de signo la secundaria y dividiendo por el determinante:

$C=\dfrac{1}{1/4}\begin{pmatrix} 0 & 1/2 \\ -1/2 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado en las dos ecuaciones de partida:

$B+C^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 3/2 \\ 3/2 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & -1/2 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}=A$

$B-C^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 3/2 \\ 3/2 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 & -1/2 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=A^{T}$

Las matrices pedidas son $B=\begin{pmatrix} 1 & 3/2 \\ 3/2 & 1 \end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$.