Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Añada una ecuación al sistema de ecuaciones lineales [2 puntos]

$\begin{cases} 2x-y+2z=1, \\ x+y-z=3, \end{cases}$

de modo que sea:

i) incompatible.

ii) compatible determinado.

iii) compatible indeterminado.

$\textbf{Añada una ecuación al sistema } \boldsymbol{\begin{cases} 2x-y+2z=1 \\ x+y-z=3 \end{cases}}\textbf{ de modo que sea incompatible, compatible determinado y compatible indeterminado. [2 puntos]}$

Se parte de la matriz de coeficientes y de la ampliada del sistema dado:

$M=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix},\qquad M'=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

Las dos filas no son proporcionales, luego $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=2<3$: el sistema de partida es compatible indeterminado y sus soluciones forman una recta. Conviene tener a mano una combinación cómoda de las dos ecuaciones; sumándolas desaparece la $y$:

$(2x-y+2z)+(x+y-z)=1+3 \Rightarrow 3x+z=4$

Al añadir una tercera ecuación las matrices pasan a ser $3\times 3$ y $3\times 4$, y el carácter del sistema depende de los nuevos rangos.

$\textbf{i) Incompatible.}$

Basta que el primer miembro de la nueva ecuación sea combinación lineal de los otros dos —para que el rango de $M$ siga siendo 2— pero que el término independiente no lo sea, de modo que el de $M'$ suba a 3. Sirve la combinación anterior con otro segundo miembro:

$3x+z=0$

En efecto, $\operatorname{ran}(M)=2$ y $\operatorname{ran}(M')=3$, luego el sistema es incompatible: las dos primeras ecuaciones obligan a $3x+z=4$ y la tercera lo niega.

$\textbf{ii) Compatible determinado.}$

Ahora hace falta una ecuación cuyo primer miembro no dependa de los anteriores, para que el rango suba a 3 en las dos matrices. Sirve, por ejemplo,

$x=0$

porque entonces $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=3=\text{número de incógnitas}$. Resolviendo el sistema resultante: de $3x+z=4$ con $x=0$ sale $z=4$, y de $x+y-z=3$ sale $y=7$.

$(x,y,z)=(0,\,7,\,4)$

$\textbf{iii) Compatible indeterminado.}$

Se necesita que la nueva ecuación no aporte información, es decir, que sea combinación lineal de las dos anteriores, término independiente incluido. Sirve exactamente la suma de las dos:

$3x+z=4$

Con ella $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M')=2<3$ y el sistema sigue teniendo infinitas soluciones. Tomando $z=\lambda$ se obtienen:

$(x,y,z)=\left(\dfrac{4-\lambda}{3},\ \dfrac{5+4\lambda}{3},\ \lambda\right),\qquad \lambda\in\mathbb{R}$