Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2024

En una finca con forma de semicírculo de radio 20 m se quiere poner un jardín rectangular, de tal manera que uno de sus lados esté sobre el diámetro y el opuesto a él tenga sus extremos en la parte de la curva. Calcule las dimensiones del jardín para que su área sea máxima. [2 puntos]

$\textbf{En una finca con forma de semicírculo de radio 20 m se quiere poner un jardín rectangular, de tal manera que uno de sus lados esté sobre el diámetro y el opuesto a él tenga sus extremos en la parte de la curva. Calcule las dimensiones del jardín para que su área sea máxima. [2 puntos]}$

Se coloca el semicírculo con el diámetro sobre el eje de abscisas y el centro en el origen, de modo que la semicircunferencia es $x^{2}+y^{2}=400$ con $y\geq 0$. Como el rectángulo tiene un lado sobre el diámetro y los dos vértices opuestos sobre la curva, es simétrico respecto del eje de ordenadas: sus vértices superiores son $(x,y)$ y $(-x,y)$, con $0<x<20$.



La altura del rectángulo se despeja de la ecuación de la semicircunferencia y la base es $2x$:

$y=\sqrt{400-x^{2}}$

$A(x)=2x\sqrt{400-x^{2}},\qquad 0<x<20$

Para maximizar se deriva y se iguala a cero.

$A'(x)=2\sqrt{400-x^{2}}+2x\cdot\dfrac{-x}{\sqrt{400-x^{2}}}=\dfrac{2\left(400-x^{2}\right)-2x^{2}}{\sqrt{400-x^{2}}}=\dfrac{800-4x^{2}}{\sqrt{400-x^{2}}}$

$A'(x)=0 \Rightarrow 800-4x^{2}=0 \Rightarrow x^{2}=200 \Rightarrow x=10\sqrt{2}$

Se descarta la raíz negativa porque $x$ es una longitud. El signo del denominador es siempre positivo en el intervalo, así que el de $A'(x)$ lo decide el numerador: $A'(x)>0$ para $x<10\sqrt{2}$ y $A'(x)<0$ para $x>10\sqrt{2}$. La función pasa de creciente a decreciente, luego en $x=10\sqrt{2}$ hay un máximo, y por ser el único extremo del intervalo es el máximo absoluto.

Se recuperan las dos dimensiones:

$y=\sqrt{400-200}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$

$\text{base}=2x=20\sqrt{2}\approx 28{,}28\ \text{m},\qquad \text{altura}=y=10\sqrt{2}\approx 14{,}14\ \text{m}$

El jardín de área máxima mide $20\sqrt{2}$ m de base por $10\sqrt{2}$ m de altura, y su superficie es $20\sqrt{2}\cdot 10\sqrt{2}=400\ \text{m}^{2}$.