Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2024

Escriba la ecuación de la recta tangente a la curva $y=\dfrac{1}{x}$ en el punto $\left(3,\,\frac{1}{3}\right)$. Compruebe que el segmento de esta recta comprendido entre los ejes de coordenadas está dividido en dos partes iguales por el punto de tangencia. [2 puntos]

$\textbf{Escriba la ecuación de la recta tangente a la curva } \boldsymbol{y=\dfrac{1}{x}}\textbf{ en el punto } \boldsymbol{\left(3,\,\frac{1}{3}\right)}\textbf{. Compruebe que el segmento de esta recta comprendido entre los ejes de coordenadas está dividido en dos partes iguales por el punto de tangencia. [2 puntos]}$

La pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada en ese punto, de modo que lo primero es derivar.

$f(x)=\dfrac{1}{x}=x^{-1} \Rightarrow f'(x)=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}$

$m=f'(3)=-\dfrac{1}{9}$

Con la pendiente y el punto de tangencia se escribe la recta en forma punto-pendiente:

$y-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{9}(x-3)$

$y=-\dfrac{x}{9}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{x}{9}+\dfrac{2}{3}$

La recta tangente pedida es $y=-\dfrac{x}{9}+\dfrac{2}{3}$, que también puede escribirse $x+9y-6=0$.

Para la segunda parte se buscan los dos extremos del segmento, que son los cortes de la tangente con los ejes.

$x=0 \Rightarrow y=\dfrac{2}{3} \Rightarrow A\left(0,\dfrac{2}{3}\right)$

$y=0 \Rightarrow -\dfrac{x}{9}+\dfrac{2}{3}=0 \Rightarrow x=6 \Rightarrow B(6,0)$

Basta comprobar que el punto de tangencia es el punto medio de $\overline{AB}$:

$M=\left(\dfrac{0+6}{2},\ \dfrac{\frac{2}{3}+0}{2}\right)=\left(3,\ \dfrac{1}{3}\right)$



El punto medio del segmento coincide con el punto de tangencia, luego este divide el segmento en dos partes iguales.

La propiedad no es casual: en un punto genérico $\left(a,\frac{1}{a}\right)$ con $a\neq 0$ la tangente es $y=-\dfrac{x}{a^{2}}+\dfrac{2}{a}$, que corta a los ejes en $\left(0,\frac{2}{a}\right)$ y $(2a,0)$; el punto medio de esos dos cortes es $\left(a,\frac{1}{a}\right)$ para cualquier valor de $a$.