Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

a) Dado el punto $P(0,\,2,\,1)$, halle la ecuación del plano que contiene a $P$ y es paralelo a $\pi \equiv 2x-5y+z+3=0$. [0,5 puntos]

b) Dado el punto $P(1,\,0,\,-3)$, halle la ecuación del plano que contiene a $P$ y es perpendicular a la recta [0,5 puntos]

$r \equiv \begin{cases} 5x+y-z=4, \\ 2x-2y-z=5. \end{cases}$

c) Calcule la distancia entre las rectas [1,5 puntos]

$r \equiv \begin{cases} x=5+\lambda, \\ y=-1, \\ z=8+2\lambda, \end{cases} \qquad s \equiv \begin{cases} x=2+3\mu, \\ y=2-\mu, \\ z=-1+4\mu. \end{cases}$

$\textbf{a) Dado el punto } \boldsymbol{P(0,\,2,\,1)}\textbf{, halle la ecuación del plano que contiene a } \boldsymbol{P}\textbf{ y es paralelo a } \boldsymbol{\pi \equiv 2x-5y+z+3=0}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Dos planos paralelos tienen el mismo vector normal, así que el plano buscado se diferencia del dado solo en el término independiente.

$2x-5y+z+D=0$

Se impone que pase por $P$:

$2\cdot 0-5\cdot 2+1+D=0 \Rightarrow -9+D=0 \Rightarrow D=9$

$\pi':\ 2x-5y+z+9=0$

$\textbf{b) Dado el punto } \boldsymbol{P(1,\,0,\,-3)}\textbf{, halle la ecuación del plano que contiene a } \boldsymbol{P}\textbf{ y es perpendicular a la recta [0,5 puntos]}$

La recta viene dada como intersección de dos planos, de modo que su director es perpendicular a los dos normales: se obtiene con el producto vectorial.

$\vec n_{1}=(5,1,-1);\qquad \vec n_{2}=(2,-2,-1)$

$\vec v_{r}=\vec n_{1}\times\vec n_{2}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 5 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & -1 \end{vmatrix}=(-3,3,-12)$

Dividiendo entre $-3$ queda el director más simple $(1,-1,4)$.

Si el plano es perpendicular a la recta, ese vector es su normal:

$x-y+4z+D=0$

$1-0+4(-3)+D=0 \Rightarrow -11+D=0 \Rightarrow D=11$

$\pi:\ x-y+4z+11=0$

$\textbf{c) Calcule la distancia entre las rectas [1,5 puntos]}$

De las paramétricas se leen un punto y un director de cada recta:

$r:\ A(5,-1,8),\ \vec v_{r}=(1,0,2);\qquad s:\ B(2,2,-1),\ \vec v_{s}=(3,-1,4)$

Los directores no son proporcionales, así que las rectas se cortan o se cruzan. Se calcula el producto vectorial, que hace falta en cualquier caso:

$\vec v_{r}\times\vec v_{s}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix}=(0+2)\vec i-(4-6)\vec j+(-1-0)\vec k=(2,2,-1)$

$\left|\vec v_{r}\times\vec v_{s}\right|=\sqrt{4+4+1}=3$

$\overrightarrow{AB}=(2,2,-1)-(5,-1,8)=(-3,3,-9)$

El producto mixto es el volumen del paralelepípedo que forman los tres vectores; si no se anula, las rectas se cruzan.

$\left[\overrightarrow{AB},\vec v_{r},\vec v_{s}\right]=\overrightarrow{AB}\cdot\left(\vec v_{r}\times\vec v_{s}\right)=(-3)(2)+3(2)+(-9)(-1)$

$=-6+6+9=9\neq 0$

Las rectas se cruzan, y su distancia es el cociente entre ese volumen y el área de la base:

$d(r,s)=\dfrac{\left|\left[\overrightarrow{AB},\vec v_{r},\vec v_{s}\right]\right|}{\left|\vec v_{r}\times\vec v_{s}\right|}=\dfrac{9}{3}=3$



La distancia entre las dos rectas es de 3 unidades de longitud.