Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

a) Dados los planos de ecuaciones [1,25 puntos]

$\begin{cases} x+y+z=2, \\ 2x+y-z=4, \\ mx+y+3z=6, \\ x-2z=m, \end{cases}$

determine el valor del parámetro $m$ para que los planos se corten en un punto. En este caso, determine el punto de corte.

b) Calcule la distancia de la recta $r \equiv \dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+2}{5}$ al plano $\pi \equiv -x-3y+z+4=0$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Determine el valor del parámetro } \boldsymbol{m}\textbf{ para que los planos se corten en un punto. En este caso, determine el punto de corte. [1,25 puntos]}$

Son cuatro planos y solo tres incógnitas, de modo que el sistema está sobredeterminado: para que tenga solución única hacen falta exactamente tres ecuaciones independientes y que la cuarta sea consecuencia de ellas.

Se empieza restando la primera ecuación de la segunda, porque el resultado se parece a la cuarta:

$(2x+y-z)-(x+y+z)=4-2 \Rightarrow x-2z=2$

La cuarta ecuación dice $x-2z=m$, así que para que no contradiga a las dos primeras tiene que ser

$m=2$

Con ese valor la cuarta ecuación es redundante y quedan tres ecuaciones independientes:

$\begin{cases} x+y+z=2 \\ 2x+y-z=4 \\ 2x+y+3z=6 \end{cases}$

Restando la segunda de la tercera desaparecen las dos primeras incógnitas:

$4z=2 \Rightarrow z=\dfrac{1}{2}$

$\begin{cases} x+y=\dfrac{3}{2} \\ 2x+y=\dfrac{9}{2} \end{cases} \Rightarrow x=3 \Rightarrow y=-\dfrac{3}{2}$

Se comprueba en la cuarta ecuación: $3-2\cdot\frac{1}{2}=2=m$.

Los cuatro planos se cortan en un punto para $m=2$, y ese punto es $\left(3,-\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2}\right)$.

$\textbf{b) Calcule la distancia de la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Se leen un punto y un director de la recta y el vector normal del plano:

$r:\ A(3,1,-2),\ \vec v_{r}=(-1,2,5);\qquad \vec n_{\pi}=(-1,-3,1)$

Antes de calcular nada hay que ver la posición relativa: si la recta cortase al plano la distancia sería nula.

$\vec v_{r}\cdot\vec n_{\pi}=(-1)(-1)+2(-3)+5\cdot 1=1-6+5=0$

El director es perpendicular al normal, luego la recta es paralela al plano o está contenida en él. Se comprueba sustituyendo el punto de paso:

$-3-3\cdot 1+(-2)+4=-3-3-2+4=-4\neq 0$

El punto no pertenece al plano, así que la recta es paralela y todos sus puntos están a la misma distancia. Basta calcular la del punto $A$.



$d(r,\pi)=d(A,\pi)=\dfrac{\left|-x_{0}-3y_{0}+z_{0}+4\right|}{\sqrt{(-1)^{2}+(-3)^{2}+1^{2}}}=\dfrac{|-4|}{\sqrt{11}}$

$d(r,\pi)=\dfrac{4}{\sqrt{11}}=\dfrac{4\sqrt{11}}{11}\approx 1{,}21$

La distancia de la recta al plano es $\dfrac{4\sqrt{11}}{11}\approx 1{,}21$ unidades de longitud.