Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Sea la curva $y=Ax-x^{2}$, con $A \in \mathbb{R}^{+}$. Determine el valor de $A$ para que el área encerrada entre la curva $y$ y el eje de abscisas sea 36. Represente la curva. [2,5 puntos]

$\textbf{Determine el valor de } \boldsymbol{A}\textbf{ para que el área encerrada entre la curva } \boldsymbol{y}\textbf{ y el eje de abscisas sea 36. Represente la curva. [2,5 puntos]}$

La curva es una parábola con el coeficiente principal negativo, luego sus ramas van hacia abajo. Se factoriza para localizar los cortes con el eje de abscisas, que son los extremos del recinto:

$y=Ax-x^{2}=x(A-x)$

$x(A-x)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=A \end{cases}$

Como $A>0$, entre $0$ y $A$ los dos factores son positivos y la curva queda por encima del eje, de modo que el área coincide con la integral definida.

$\mathcal{A}=\int_{0}^{A}\left(Ax-x^{2}\right)dx=\left[\dfrac{Ax^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{A}$

$=\dfrac{A^{3}}{2}-\dfrac{A^{3}}{3}=\dfrac{3A^{3}-2A^{3}}{6}=\dfrac{A^{3}}{6}$

Se iguala al valor que pide el enunciado y se despeja:

$\dfrac{A^{3}}{6}=36 \Rightarrow A^{3}=216 \Rightarrow A=6$

Se descartan las otras dos raíces cúbicas por no ser reales, y el valor obtenido cumple $A\in\mathbb{R}^{+}$.

La curva es entonces $y=6x-x^{2}$. Corta al eje de abscisas en $x=0$ y $x=6$, y su vértice está en el punto medio de esos dos cortes:

$x_{V}=\dfrac{-6}{2\cdot(-1)}=3 \Rightarrow y_{V}=18-9=9$



El valor pedido es $A=6$, y la curva es la parábola $y=6x-x^{2}$, de vértice $(3,9)$.