Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2025

Un campo de atletismo de 1 km de perímetro consiste en un rectángulo con un semicírculo en cada uno de dos lados opuestos. Halle las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible. [2,5 puntos]

$\textbf{Un campo de atletismo de 1 km de perímetro consiste en un rectángulo con un semicírculo en cada uno de dos lados opuestos. Halle las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible. [2,5 puntos]}$

Se llama $x$ a la longitud de los dos lados rectos del rectángulo e $y$ a la de los otros dos, que son los diámetros de los semicírculos.



El perímetro del campo lo forman los dos lados rectos y los dos arcos; los dos semicírculos juntos componen una circunferencia completa de diámetro $y$, de longitud $\pi y$. Pasando el kilómetro a metros:

$2x+\pi y=1000$

La función que hay que maximizar es el área de la parte rectangular:

$A=xy$

Se despeja $x$ de la restricción y se sustituye para dejar el área en una sola variable:

$x=\dfrac{1000-\pi y}{2}$

$A(y)=\dfrac{1000-\pi y}{2}\cdot y=500y-\dfrac{\pi}{2}y^{2}$

$A'(y)=500-\pi y$

$A'(y)=0 \Rightarrow y=\dfrac{500}{\pi}\approx 159{,}15$

Se comprueba con la segunda derivada que es un máximo:

$A''(y)=-\pi<0$

$x=\dfrac{1000-\pi\cdot\frac{500}{\pi}}{2}=\dfrac{1000-500}{2}=250$

$A=250\cdot\dfrac{500}{\pi}=\dfrac{125000}{\pi}\approx 39\,788{,}7$

La parte rectangular es lo mayor posible cuando mide 250 metros de largo y $\frac{500}{\pi}\approx 159{,}15$ metros de ancho; su área vale entonces $\frac{125000}{\pi}\approx 39\,788{,}7$ metros cuadrados. Los dos lados rectos suman así 500 m, la mitad del perímetro total, que es lo que ocupan también los dos arcos.