Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2025

Para iluminar una estancia se requiere instalar focos. El tiempo de vida de los focos es una variable normal con media de 2000 horas. Se sabe que, tomando un foco al azar, la probabilidad de que luzca más de 1800 horas es $0{,}8289$. Calcule:

a) La desviación típica de la distribución. [1 punto]

b) Cuántas horas de vida debe tener un foco para estar en el percentil 90. [0,5 puntos]

c) El porcentaje de focos que no tendrán una duración aceptable, considerando como duración aceptable al menos 1600 horas. [1 punto]

Utilice la tabla de la distribución normal tipificada.

Se llama $X$ al tiempo de vida de un foco, en horas. Según el enunciado

$X\sim N(2000,\sigma)$

$\textbf{a) La desviación típica de la distribución. [1 punto]}$

El dato es el área de la cola de la derecha de 1800 horas. Como ese valor está por debajo de la media, la cola encierra más de la mitad del área y la abscisa tipificada tiene que ser negativa.

$P(X>1800)=0{,}8289 \Rightarrow P(X\leq 1800)=1-0{,}8289=0{,}1711$

En la tabla se busca $1-0{,}1711=0{,}8289$, que corresponde a $z=0{,}95$; por simetría, la abscisa buscada es su opuesta.

$\dfrac{1800-2000}{\sigma}=-0{,}95 \Rightarrow \sigma=\dfrac{200}{0{,}95}\approx 210{,}53$



La desviación típica es de unas $210{,}53$ horas.

$\textbf{b) Cuántas horas de vida debe tener un foco para estar en el percentil 90. [0,5 puntos]}$

Estar en el percentil 90 significa dejar por debajo al 90 % de los focos.

$P(X\leq k)=0{,}90 \Rightarrow z=1{,}28$

$k=2000+1{,}28\cdot 210{,}53\approx 2000+269{,}47=2269{,}47$

Un foco debe durar unas 2269,5 horas para estar en el percentil 90.

$\textbf{c) El porcentaje de focos que no tendrán una duración aceptable, considerando como duración aceptable al menos 1600 horas. [1 punto]}$

No tener una duración aceptable es durar menos de 1600 horas, así que se pide la cola de la izquierda de ese valor.

$P(X<1600)=P\left(Z<\dfrac{1600-2000}{210{,}53}\right)=P(Z<-1{,}9)$

Las tablas solo recogen abscisas positivas, así que se usa la simetría de la campana:

$P(Z<-1{,}9)=1-P(Z\leq 1{,}9)=1-0{,}9713=0{,}0287$



El 2,87 % de los focos no tendrá una duración aceptable.