Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

a) Dada la recta $r \equiv x-2=y+1=-z$, calcule la ecuación de la recta $s$ que corta a $r$ perpendicularmente y que pasa por $Q=(2,\,-2,\,1)$. [1,25 puntos]

b) Dados los planos $mx+2y-3z-1=0$ y $2x-4y+6z+5=0$, halle los valores de $m$ para que sean: [1,25 puntos]

i) paralelos.

ii) perpendiculares.

$\textbf{a) Dada la recta } \boldsymbol{r \equiv x-2=y+1=-z}\textbf{, calcule la ecuación de la recta } \boldsymbol{s}\textbf{ que corta a } \boldsymbol{r}\textbf{ perpendicularmente y que pasa por } \boldsymbol{Q=(2,\,-2,\,1)}\textbf{. [1,25 puntos]}$

De la ecuación continua se leen un punto y un director de la recta:

$r:\ A(2,-1,0),\ \vec v_{r}=(1,1,-1)$

La recta buscada pasa por $Q$ y corta a $r$ en un punto $R$ que hay que determinar. Se escribe ese punto en paramétricas y se impone que el vector $\overrightarrow{QR}$ sea perpendicular al director de $r$.

$R=(2+t,\ -1+t,\ -t)$

$\overrightarrow{QR}=R-Q=(t,\ 1+t,\ -t-1)$

$\overrightarrow{QR}\cdot\vec v_{r}=0 \Rightarrow t+(1+t)+(t+1)=0$

$3t+2=0 \Rightarrow t=-\dfrac{2}{3}$

$R=\left(\dfrac{4}{3},\ -\dfrac{5}{3},\ \dfrac{2}{3}\right)$

$\overrightarrow{QR}=\left(-\dfrac{2}{3},\ \dfrac{1}{3},\ -\dfrac{1}{3}\right)$

Multiplicando por $-3$ se obtiene un director más cómodo, $(2,-1,1)$, que efectivamente es perpendicular al de $r$:

$(2,-1,1)\cdot(1,1,-1)=2-1-1=0$



$s:\ \dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z-1}{1}$

$\textbf{b) Dados los planos } \boldsymbol{mx+2y-3z-1=0}\textbf{ y } \boldsymbol{2x-4y+6z+5=0}\textbf{, halle los valores de } \boldsymbol{m}\textbf{ para que sean: [1,25 puntos]}$

Se leen los dos vectores normales, que son los que deciden la posición relativa.

$\vec n_{1}=(m,2,-3);\qquad \vec n_{2}=(2,-4,6)$



$\textbf{i) paralelos.}$

Dos planos son paralelos cuando sus normales son proporcionales. Las dos últimas componentes ya fijan la razón:

$\dfrac{2}{-4}=\dfrac{-3}{6}=-\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{m}{2}=-\dfrac{1}{2} \Rightarrow m=-1$

Con ese valor el primer plano es $-x+2y-3z-1=0$, que multiplicado por $-2$ da $2x-4y+6z+2=0$: los coeficientes son proporcionales a los del segundo pero el término independiente no, de modo que los planos son paralelos y distintos.

$\textbf{ii) perpendiculares.}$

Dos planos son perpendiculares cuando sus normales lo son, es decir, cuando su producto escalar se anula.

$\vec n_{1}\cdot\vec n_{2}=2m-8-18=0$

$2m=26 \Rightarrow m=13$

Los planos son paralelos para $m=-1$ y perpendiculares para $m=13$.