Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

a) Obtenga el valor de $m$ para el cual las rectas $r \equiv x=y=z-m$ y $s \equiv \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{2y}{3}=2z-2$ se cortan. Calcule el punto de corte de $r$ y $s$ para el valor de $m$ calculado. [1,25 puntos]

b) Se consideran los puntos $P=(0,\,2,\,-1)$ y $Q=(2,\,-2,\,1)$. Encuentre la ecuación del plano $\pi$ que cumple que los dos puntos son simétricos respecto a él. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Obtenga el valor de } \boldsymbol{m}\textbf{ para el cual las rectas se cortan. Calcule el punto de corte de } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{ para el valor de } \boldsymbol{m}\textbf{ calculado. [1,25 puntos]}$

De la primera recta se leen directamente un punto y un director. Para la segunda conviene reescribir los denominadores en forma continua:

$s:\ \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{\frac{3}{2}}=\dfrac{z-1}{\frac{1}{2}}$

$r:\ A(0,0,m),\ \vec v_{r}=(1,1,1);\qquad s:\ B(1,0,1),\ \vec v_{s}=(4,3,1)$

donde el director de $s$ se ha multiplicado por 2 para quitar denominadores. Los dos directores no son proporcionales, así que las rectas se cortan o se cruzan; para que se corten, los tres vectores deben ser coplanarios y el producto mixto anularse.

$\overrightarrow{AB}=(1,0,1-m)$

$\left[\overrightarrow{AB},\vec v_{r},\vec v_{s}\right]=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1-m \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 1 \end{vmatrix}=(1-3)-0+(1-m)(3-4)$

$=-2-1+m=m-3$

$m-3=0 \Rightarrow m=3$

Para hallar el punto de corte se igualan las paramétricas de las dos rectas con $m=3$:

$r:\ (\lambda,\lambda,\lambda+3);\qquad s:\ (1+4\mu,\ 3\mu,\ 1+\mu)$

$\begin{cases} \lambda=1+4\mu \\ \lambda=3\mu \end{cases} \Rightarrow 3\mu=1+4\mu \Rightarrow \mu=-1 \Rightarrow \lambda=-3$

Se comprueba en la tercera coordenada: $\lambda+3=0$ y $1+\mu=0$.

Las rectas se cortan para $m=3$, y lo hacen en el punto $(-3,-3,0)$.

$\textbf{b) Se consideran los puntos } \boldsymbol{P=(0,\,2,\,-1)}\textbf{ y } \boldsymbol{Q=(2,\,-2,\,1)}\textbf{. Encuentre la ecuación del plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ que cumple que los dos puntos son simétricos respecto a él. [1,25 puntos]}$

Que dos puntos sean simétricos respecto de un plano significa que el plano es el mediador del segmento que los une: pasa por su punto medio y es perpendicular a él.

El vector que une los dos puntos es el normal del plano:

$\overrightarrow{PQ}=(2,-4,2)$

que se puede simplificar dividiendo entre 2:

$\vec n_{\pi}=(1,-2,1)$

El punto medio del segmento es

$M=\left(\dfrac{0+2}{2},\dfrac{2-2}{2},\dfrac{-1+1}{2}\right)=(1,0,0)$

Con el normal y un punto se escribe la ecuación:

$x-2y+z+D=0$

$1-0+0+D=0 \Rightarrow D=-1$

$\pi:\ x-2y+z-1=0$



Se comprueba que los dos puntos están a la misma distancia y a distinto lado: al sustituirlos se obtienen $0-4-1-1=-6$ y $2+4+1-1=6$, valores opuestos.