Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

a) Dado el sistema de ecuaciones homogéneo [1,25 puntos]

$\begin{cases} 3x+y-z=0 \\ 3x+2y-mz=0 \\ x-y-z=0 \end{cases}$

indique para qué valores de $m$ el sistema tiene solamente la solución trivial. Resuelva el sistema anterior para un valor de $m$ que lo haga compatible indeterminado.

b) Dada la matriz $A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, resuelva el sistema [1,25 puntos]

$\left(A-\frac{1}{3}A^{T}\right)\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}$

donde $A^{T}$ es la matriz traspuesta de $A$.

$\textbf{a) Indique para qué valores de } \boldsymbol{m}\textbf{ el sistema tiene solamente la solución trivial. Resuelva el sistema anterior para un valor de } \boldsymbol{m}\textbf{ que lo haga compatible indeterminado. [1,25 puntos]}$

Un sistema homogéneo es siempre compatible, porque la terna nula lo cumple; tiene solo esa solución cuando el rango de la matriz de coeficientes coincide con el número de incógnitas, es decir, cuando el determinante no se anula.

$|A|=\begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & -m \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix}$

Desarrollando por la primera fila:

$=3\left(-2-m\right)-1\left(-3+m\right)-1\left(-3-2\right)$

$=-6-3m+3-m+5=2-4m$

$|A|=0 \Rightarrow m=\dfrac{1}{2}$

El sistema tiene solamente la solución trivial para todo $m\neq\dfrac{1}{2}$.

Para $m=\dfrac{1}{2}$ el determinante se anula y el rango baja a 2 —el menor formado por las dos primeras columnas de las filas primera y tercera vale $-3-1=-4\neq 0$—, de modo que el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad. Se resuelve con dos de las tres ecuaciones:

$\begin{cases} 3x+y-z=0 \\ x-y-z=0 \end{cases}$

Sumando las dos: $4x-2z=0 \Rightarrow z=2x$.

Restando la segunda de la primera: $2x+2y=0 \Rightarrow y=-x$.

Tomando $x=\lambda$ como parámetro:

$(x,y,z)=(\lambda,\ -\lambda,\ 2\lambda),\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

Se comprueba en la ecuación que no se ha usado: $3\lambda-2\lambda-\frac{1}{2}\cdot 2\lambda=0$.

$\textbf{b) Dada la matriz A, resuelva el sistema [1,25 puntos]}$

Se calcula primero la matriz de coeficientes. La traspuesta se obtiene cambiando filas por columnas:

$A^{T}=\begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

$A-\dfrac{1}{3}A^{T}=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

Su determinante vale

$\begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & -1 & 0 \end{vmatrix}=2(0+3)+1(0-9)-1(-3-6)=6-9+9=6\neq 0$

luego el sistema es compatible determinado. Escrito en forma de ecuaciones:

$\begin{cases} 2x-y-z=0 \\ 3x+2y+3z=7 \\ 3x-y=1 \end{cases}$

De la tercera se despeja $y=3x-1$, y llevándolo a la primera:

$2x-(3x-1)-z=0 \Rightarrow -x+1-z=0 \Rightarrow z=1-x$

Se sustituyen las dos en la segunda:

$3x+2(3x-1)+3(1-x)=7 \Rightarrow 3x+6x-2+3-3x=7$

$6x+1=7 \Rightarrow x=1$

$y=2;\qquad z=0$

La solución del sistema es $x=1$, $y=2$, $z=0$.