Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Sea la función $f(x)=-x^{2}+\alpha x+11$, donde $\alpha$ es un parámetro real. Calcule el valor de $\alpha$ para que $f(x)$ tenga un máximo relativo en $x=\frac{1}{2}$. Para ese valor de $\alpha$, calcule el área encerrada entre las gráficas de $f(x)$ y $f'(x)$. [2,5 puntos]

$\textbf{Calcule el valor de } \boldsymbol{\alpha}\textbf{ para que } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ tenga un máximo relativo en } \boldsymbol{x=\frac{1}{2}}\textbf{. Para ese valor de } \boldsymbol{\alpha}\textbf{, calcule el área encerrada entre las gráficas de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y } \boldsymbol{f'(x)}\textbf{. [2,5 puntos]}$

La condición necesaria de extremo relativo es que la derivada se anule en ese punto.

$f'(x)=-2x+\alpha$

$f'\left(\dfrac{1}{2}\right)=0 \Rightarrow -1+\alpha=0 \Rightarrow \alpha=1$

Se comprueba que es un máximo y no un mínimo:

$f''(x)=-2<0$

Al ser la segunda derivada negativa en todo punto, el extremo es efectivamente un máximo. Con $\alpha=1$ las dos funciones son

$f(x)=-x^{2}+x+11;\qquad f'(x)=-2x+1$

Los extremos del recinto son los puntos en que las dos gráficas se cortan:

$-x^{2}+x+11=-2x+1 \Rightarrow -x^{2}+3x+10=0 \Rightarrow x^{2}-3x-10=0$

$x=\dfrac{3\pm\sqrt{9+40}}{2}=\dfrac{3\pm 7}{2} \Rightarrow \begin{cases} x=5 \\ x=-2 \end{cases}$

Entre esas dos abscisas la parábola queda por encima de la recta, como muestra el valor en un punto intermedio:

$f(0)=11>1=f'(0)$



$\mathcal{A}=\int_{-2}^{5}\left[\left(-x^{2}+x+11\right)-(-2x+1)\right]dx=\int_{-2}^{5}\left(-x^{2}+3x+10\right)dx$

$=\left[-\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{3x^{2}}{2}+10x\right]_{-2}^{5}$

$=\left(-\dfrac{125}{3}+\dfrac{75}{2}+50\right)-\left(\dfrac{8}{3}+6-20\right)$

$=\dfrac{275}{6}-\left(-\dfrac{34}{3}\right)=\dfrac{275+68}{6}=\dfrac{343}{6}$

Para $\alpha=1$ el área encerrada entre las dos gráficas es de $\dfrac{343}{6}\approx 57{,}17$ unidades de área.