Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2025

La vela de un barco tiene forma de triángulo rectángulo. Si la hipotenusa mide 8 m, calcule las dimensiones para que la superficie de la vela sea máxima. [2,5 puntos]

$\textbf{La vela de un barco tiene forma de triángulo rectángulo. Si la hipotenusa mide 8 m, calcule las dimensiones para que la superficie de la vela sea máxima. [2,5 puntos]}$

Se llaman $x$ e $y$ a los dos catetos, en metros. La superficie de un triángulo rectángulo es el semiproducto de los catetos, porque uno hace de base y el otro de altura:

$S=\dfrac{xy}{2}$



La relación entre las dos variables la da el teorema de Pitágoras, ya que la hipotenusa es un dato:

$x^{2}+y^{2}=64 \Rightarrow y=\sqrt{64-x^{2}},\qquad 0<x<8$

$S(x)=\dfrac{x\sqrt{64-x^{2}}}{2}$

Conviene maximizar el cuadrado de la superficie en vez de la superficie: como $S>0$ y la función cuadrado es creciente en los positivos, las dos alcanzan el máximo en el mismo punto, y así se evita derivar la raíz.

$S^{2}(x)=\dfrac{x^{2}\left(64-x^{2}\right)}{4}=\dfrac{64x^{2}-x^{4}}{4}$

$\left(S^{2}\right)'(x)=\dfrac{128x-4x^{3}}{4}=\dfrac{4x\left(32-x^{2}\right)}{4}=x\left(32-x^{2}\right)$

$\left(S^{2}\right)'(x)=0 \Rightarrow x^{2}=32 \Rightarrow x=4\sqrt{2}$

Se descarta la solución nula y la negativa por tratarse de una longitud. Se comprueba que es un máximo estudiando el signo de la derivada:

$\left(S^{2}\right)'(1)=31>0;\qquad \left(S^{2}\right)'(7)=7(32-49)<0$

La función pasa de crecer a decrecer, luego en $x=4\sqrt{2}$ hay un máximo.

$y=\sqrt{64-32}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

$S=\dfrac{4\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}}{2}=\dfrac{32}{2}=16$

La superficie de la vela es máxima cuando los dos catetos miden $4\sqrt{2}\approx 5{,}66$ metros, es decir, cuando el triángulo es isósceles; la superficie vale entonces 16 metros cuadrados.