Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2025

La producción de vino por hectárea (ha) de terreno en una comarca sigue una distribución $N(\mu,\sigma)$. Los datos históricos indican que solo en el 2 % de los años la producción supera los 9000 kg/ha, mientras que en el 56 % de los años queda por debajo de los 8315 kg/ha.

a) Calcule la media y la desviación típica de la distribución. [1,75 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que la producción supere los 8500 kg/ha en un año elegido al azar. [0,75 puntos]

Utilice la tabla de la distribución normal tipificada.

Se llama $X$ a la producción de vino, en kg/ha. Según el enunciado

$X\sim N(\mu,\sigma)$

$\textbf{a) Calcule la media y la desviación típica de la distribución. [1,75 puntos]}$

Cada dato histórico se traduce en una probabilidad, y de cada una se saca la abscisa tipificada buscando en la tabla.

$P(X>9000)=0{,}02 \Rightarrow P(X\leq 9000)=0{,}98 \Rightarrow z_{1}=2{,}05$

$P(X<8315)=0{,}56 \Rightarrow z_{2}=0{,}15$



Deshaciendo la tipificación en los dos casos se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

$\begin{cases} 9000=\mu+2{,}05\,\sigma \\ 8315=\mu+0{,}15\,\sigma \end{cases}$

Restando la segunda de la primera desaparece la media:

$685=1{,}90\,\sigma \Rightarrow \sigma=\dfrac{685}{1{,}90}\approx 360{,}53$

$\mu=8315-0{,}15\cdot 360{,}53\approx 8315-54{,}08=8260{,}92$

La producción media es de unos $8260{,}92$ kg/ha y la desviación típica de unos $360{,}53$ kg/ha.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que la producción supere los 8500 kg/ha en un año elegido al azar. [0,75 puntos]}$

Se tipifica el valor 8500 con los parámetros ya obtenidos y se pasa a la cola de la derecha.

$P(X>8500)=P\left(Z>\dfrac{8500-8260{,}92}{360{,}53}\right)=P(Z>0{,}66)$

$P(Z>0{,}66)=1-P(Z\leq 0{,}66)=1-0{,}7454=0{,}2546$



La probabilidad de que la producción supere los 8500 kg/ha es $0{,}2546$, es decir, algo más de un 25 % de los años.