Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Determine los valores de $a$ para que los planos de ecuaciones

$\begin{cases} \pi_1 \equiv x+y+z=1, \\ \pi_2 \equiv (a-1)x+y+z=a, \\ \pi_3 \equiv x+(a-1)y-z=0, \end{cases}$

a) se corten en un punto. En este caso, determine el punto de corte. [1 punto]

b) se corten en una recta. En este caso, determine la recta en su forma paramétrica. [1 punto]

Se estudia el sistema formado por las tres ecuaciones con el teorema de Rouché-Frobenius. Lo primero es el determinante de la matriz de coeficientes.

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a-1 & 1 & 1 \\ 1 & a-1 & -1 \end{vmatrix}$

Desarrollando por la primera fila:

$=\left[-1-(a-1)\right]-\left[-(a-1)-1\right]+\left[(a-1)^{2}-1\right]$

$=-a+a+a^{2}-2a=a^{2}-2a=a(a-2)$

$|A|=0 \Rightarrow \begin{cases} a=0 \\ a=2 \end{cases}$

$\textbf{a) se corten en un punto. En este caso, determine el punto de corte. [1 punto]}$

Tres planos se cortan en un único punto cuando el sistema es compatible determinado, es decir, cuando el determinante no se anula.

Los planos se cortan en un punto para todo valor real de $a$ salvo $a=0$ y $a=2$.

Para hallar ese punto se resta la primera ecuación de la segunda, con lo que desaparecen dos incógnitas de golpe:

$(a-1)x+y+z-(x+y+z)=a-1 \Rightarrow (a-2)x=a-1 \Rightarrow x=\dfrac{a-1}{a-2}$

De la primera ecuación se despeja $z=1-x-y$ y se lleva a la tercera:

$x+(a-1)y-(1-x-y)=0 \Rightarrow 2x+ay-1=0 \Rightarrow y=\dfrac{1-2x}{a}$

$1-2x=1-\dfrac{2(a-1)}{a-2}=\dfrac{(a-2)-2a+2}{a-2}=\dfrac{-a}{a-2}$

$y=\dfrac{-a}{a(a-2)}=\dfrac{-1}{a-2}$

$z=1-x-y=1-\dfrac{a-1}{a-2}+\dfrac{1}{a-2}=\dfrac{(a-2)-(a-1)+1}{a-2}=0$

El punto de corte es

$\left(\dfrac{a-1}{a-2},\ \dfrac{-1}{a-2},\ 0\right)$

y está siempre en el plano $z=0$.

$\textbf{b) se corten en una recta. En este caso, determine la recta en su forma paramétrica. [1 punto]}$

Los tres planos se cortan en una recta cuando el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad, es decir, cuando los dos rangos valen 2. Hay que estudiar los dos valores que anulan el determinante.

Para $a=2$ el sistema es

$\begin{cases} x+y+z=1 \\ x+y+z=2 \\ x+y-z=0 \end{cases}$

Las dos primeras ecuaciones son contradictorias —los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ son paralelos y distintos—, así que el sistema es incompatible y no hay ningún punto común. Se descarta este valor.

Para $a=0$ el sistema queda

$\begin{cases} x+y+z=1 \\ -x+y+z=0 \\ x-y-z=0 \end{cases}$

La tercera ecuación es la segunda cambiada de signo, de modo que sobra. El menor formado por las dos primeras filas y las dos primeras columnas no se anula:

$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}=2\neq 0 \Rightarrow \text{rg}(A)=\text{rg}(A^{*})=2<3$

El sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad: los tres planos se cortan en una recta. Se resuelve sumando y restando las dos primeras ecuaciones:

$2x=1 \Rightarrow x=\dfrac{1}{2};\qquad 2y+2z=1 \Rightarrow y+z=\dfrac{1}{2}$

Tomando $y=\lambda$ como parámetro:

$r:\ \begin{cases} x=\dfrac{1}{2} \\ y=\lambda \\ z=\dfrac{1}{2}-\lambda \end{cases}\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

Los tres planos se cortan en una recta únicamente para $a=0$, y esa recta es la anterior, contenida en el plano $x=\frac{1}{2}$.