Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Sean la recta $r \equiv \dfrac{x}{3}=y=\dfrac{z-11}{-1}$ y el punto $P(0,\,1,\,1)$.

a) Determine la ecuación del plano que pasa por el punto $P$ y es perpendicular a la recta $r$. [1 punto]

b) Halle la distancia de $P$ a la recta $r$. [1 punto]

De la ecuación continua de la recta se leen un punto y un vector director:

$r:\ A(0,0,11),\ \vec v_{r}=(3,1,-1)$

$\textbf{a) Determine la ecuación del plano que pasa por el punto } \boldsymbol{P}\textbf{ y es perpendicular a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. [1 punto]}$

Si el plano es perpendicular a la recta, el director de la recta es un vector normal del plano.

$\vec n_{\pi}=\vec v_{r}=(3,1,-1)$

$3x+y-z+D=0$

Se impone que pase por $P(0,1,1)$:

$3\cdot 0+1-1+D=0 \Rightarrow D=0$

$\pi:\ 3x+y-z=0$

El plano pasa además por el origen, cosa coherente con que su término independiente sea nulo.

$\textbf{b) Halle la distancia de } \boldsymbol{P}\textbf{ a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. [1 punto]}$

Se aplica la fórmula de la distancia de un punto a una recta, que mide el área del paralelogramo construido sobre el vector que va del punto de paso al punto exterior y el director, dividida por la base.

$d(P,r)=\dfrac{\left|\overrightarrow{AP}\times\vec v_{r}\right|}{\left|\vec v_{r}\right|}$

$\overrightarrow{AP}=(0,1,1)-(0,0,11)=(0,1,-10)$

$\overrightarrow{AP}\times\vec v_{r}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & 1 & -10 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix}=(9,-30,-3)$

$\left|\overrightarrow{AP}\times\vec v_{r}\right|=\sqrt{81+900+9}=\sqrt{990}=3\sqrt{110}$

$\left|\vec v_{r}\right|=\sqrt{9+1+1}=\sqrt{11}$

$d(P,r)=\dfrac{3\sqrt{110}}{\sqrt{11}}=3\sqrt{10}$



La distancia del punto $P$ a la recta $r$ es $3\sqrt{10}\approx 9{,}49$ unidades de longitud.