Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2026

a) Sea $f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+3x+1$. Determine todas las ecuaciones de las rectas tangentes horizontales a la gráfica de la función $f$. [1 punto]

b) Dados $a,\,b \in \mathbb{R}$, estudie la continuidad en todos los puntos de $\mathbb{R}$ de la siguiente función, según los valores de $a$ y $b$: [1 punto]

$f(x)=\begin{cases} e^{ax+b}, & \text{si } x<1, \\ e, & \text{si } x=1, \\ e-ax+1, & \text{si } x>1. \end{cases}$

$\textbf{a) Determine todas las ecuaciones de las rectas tangentes horizontales a la gráfica de la función } \boldsymbol{f}\textbf{. [1 punto]}$

Una recta tangente es horizontal cuando su pendiente es nula, y la pendiente de la tangente es el valor de la derivada, de modo que hay que buscar los puntos en que esta se anula.

$f'(x)=x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3)$

$f'(x)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=1 \\ x=3 \end{cases}$

Se calcula la ordenada de cada uno de esos puntos:

$f(1)=\dfrac{1}{3}-2+3+1=\dfrac{7}{3}$

$f(3)=\dfrac{27}{3}-18+9+1=9-18+9+1=1$

La recta tangente en un punto de tangente horizontal es la recta $y=f(x_{0})$.



Las rectas tangentes horizontales son $y=\dfrac{7}{3}$, en el máximo relativo $x=1$, e $y=1$, en el mínimo relativo $x=3$.

$\textbf{b) Dados } \boldsymbol{a,\,b \in \mathbb{R}}\textbf{, estudie la continuidad en todos los puntos de } \boldsymbol{\mathbb{R}}\textbf{ de la siguiente función, según los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{: [1 punto]}$

En $x<1$ la función es una exponencial de exponente lineal y en $x>1$ es una recta: las dos son continuas en sus intervalos sean cuales sean los parámetros. El único punto que hay que estudiar es $x=1$, donde cambia la definición.

Se calculan los dos límites laterales y el valor de la función:

$\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=e^{a+b};\qquad f(1)=e;\qquad \lim_{x\to 1^{+}}f(x)=e-a+1$

Para que haya continuidad los tres tienen que coincidir. Del límite por la derecha:

$e-a+1=e \Rightarrow -a+1=0 \Rightarrow a=1$

Y del límite por la izquierda, con ese valor:

$e^{a+b}=e \Rightarrow a+b=1 \Rightarrow b=1-a=0$

Se concluye entonces:

Si $a=1$ y $b=0$, la función es continua en todo $\mathbb{R}$.

Para cualquier otro par de valores, la función es continua en $\mathbb{R}-\{1\}$ y presenta en $x=1$ una discontinuidad de salto finito, porque los dos límites laterales existen y son finitos pero no coinciden entre sí o con $f(1)=e$.