Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Halle el área total de la figura limitada por las curvas $y=x^{3}$, $y=2x$ e $y=x$. [2 puntos]

$\textbf{Halle el área total de la figura limitada por las curvas } \boldsymbol{y=x^{3}}\textbf{, } \boldsymbol{y=2x}\textbf{ e } \boldsymbol{y=x}\textbf{. [2 puntos]}$

Lo primero es localizar los puntos en que las curvas se cortan dos a dos.

$x^{3}=2x \Rightarrow x\left(x^{2}-2\right)=0 \Rightarrow x=0,\ x=\pm\sqrt{2}$

$x^{3}=x \Rightarrow x\left(x^{2}-1\right)=0 \Rightarrow x=0,\ x=\pm 1$

$2x=x \Rightarrow x=0$

Las tres pasan por el origen, y las tres funciones son impares, de modo que la figura tiene dos lóbulos simétricos respecto de ese punto. Basta calcular el del semiplano de la derecha y duplicar.



Para $x>0$ la recta $y=2x$ queda siempre por encima de $y=x$, y la cúbica pasa por debajo de las dos hasta $x=1$, cruza a $y=x$ ahí y cruza a $y=2x$ en $x=\sqrt{2}$. El lóbulo se parte, por tanto, en dos tramos.

De $0$ a $1$ el recinto va de la recta $y=x$ a la recta $y=2x$:

$\mathcal{A}_{1}=\int_{0}^{1}(2x-x)\,dx=\int_{0}^{1}x\,dx=\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{2}$

De $1$ a $\sqrt{2}$ el borde de abajo pasa a ser la cúbica:

$\mathcal{A}_{2}=\int_{1}^{\sqrt{2}}\left(2x-x^{3}\right)dx=\left[x^{2}-\dfrac{x^{4}}{4}\right]_{1}^{\sqrt{2}}$

$=\left(2-1\right)-\left(1-\dfrac{1}{4}\right)=1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}$

$\mathcal{A}_{1}+\mathcal{A}_{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$

Cada lóbulo mide $\frac{3}{4}$ unidades de área, así que el área total de la figura es

$\mathcal{A}=2\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}$

El área total es de $\dfrac{3}{2}=1{,}5$ unidades de área.