Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2026

En Semana Santa, dos pasos salen en procesión por dos calles perpendiculares. El primer paso sale de la iglesia $A$ a 3 km/h y el segundo sale a la misma hora de la iglesia $B$ a $2{,}8$ km/h, ambos en sentido al mismo cruce de las calles. La distancia de la iglesia $A$ hasta el cruce es de $2{,}2$ km y desde la iglesia $B$ hasta el cruce, de 2 km.

a) Determine en qué momento la distancia entre los dos pasos es mínima. [1,75 puntos]

b) Determine la distancia mínima. [0,25 puntos]

$\textbf{a) Determine en qué momento la distancia entre los dos pasos es mínima. [1,75 puntos]}$

Se toma el cruce de las dos calles como origen y se llama $t$ al tiempo transcurrido, en horas. Como las calles son perpendiculares y los dos pasos avanzan hacia el cruce, sus posiciones son los catetos de un triángulo rectángulo:

$x(t)=2{,}2-3t;\qquad y(t)=2-2{,}8t$



Por el teorema de Pitágoras, la distancia entre los dos pasos es

$d(t)=\sqrt{(2{,}2-3t)^{2}+(2-2{,}8t)^{2}}$

Como la raíz cuadrada es creciente, $d(t)$ y su cuadrado alcanzan el mínimo en el mismo instante, así que se minimiza el radicando, que es mucho más cómodo de derivar.

$D(t)=(2{,}2-3t)^{2}+(2-2{,}8t)^{2}$

$D'(t)=2(2{,}2-3t)(-3)+2(2-2{,}8t)(-2{,}8)$

$D'(t)=-13{,}2+18t-11{,}2+15{,}68t=33{,}68t-24{,}4$

$D'(t)=0 \Rightarrow t=\dfrac{24{,}4}{33{,}68}=\dfrac{305}{421}\approx 0{,}7245$

Se comprueba que es un mínimo con la segunda derivada, que es una constante positiva:

$D''(t)=33{,}68>0$

La distancia entre los dos pasos es mínima al cabo de $\frac{305}{421}$ horas, es decir, unos 43 minutos y medio desde la salida.

$\textbf{b) Determine la distancia mínima. [0,25 puntos]}$

Se sustituye ese instante en las dos posiciones:

$x=2{,}2-3\cdot\dfrac{305}{421}=\dfrac{11{,}2}{421};\qquad y=2-2{,}8\cdot\dfrac{305}{421}=-\dfrac{12}{421}$

$d=\sqrt{\left(\dfrac{11{,}2}{421}\right)^{2}+\left(\dfrac{12}{421}\right)^{2}}=\dfrac{\sqrt{269{,}44}}{421}$

$d\approx 0{,}039\ \text{km}$

La distancia mínima entre los dos pasos es de unos $0{,}039$ km, es decir, unos 39 metros. El signo negativo de la segunda coordenada indica que en ese instante el segundo paso ya ha rebasado ligeramente el cruce, mientras que el primero aún no ha llegado.