Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2026

En una prueba de diagnóstico médico se hace la medición de cierto índice que sigue una distribución normal. Los índices tipificados de dos individuos fueron $0{,}6$ y $-0{,}8$, y sus índices reales, 109 y 88, respectivamente. Calcule:

a) La media y la desviación típica del índice analizado. [1 punto]

b) Entre qué valores simétricos respecto a la media está el índice del 80 % de los individuos de dicho estudio. [1 punto]

Utilice la tabla de la distribución normal tipificada.

Se llama $X$ al índice medido, que según el enunciado sigue una distribución normal:

$X\sim N(\mu,\sigma)$

$\textbf{a) La media y la desviación típica del índice analizado. [1 punto]}$

Tipificar un valor es restarle la media y dividir por la desviación típica, así que cada individuo da una ecuación.

$z=\dfrac{x-\mu}{\sigma} \Rightarrow x=\mu+z\sigma$

$\begin{cases} 109=\mu+0{,}6\sigma \\ 88=\mu-0{,}8\sigma \end{cases}$

Restando la segunda ecuación de la primera desaparece la media:

$109-88=1{,}4\sigma \Rightarrow 21=1{,}4\sigma \Rightarrow \sigma=15$

$\mu=109-0{,}6\cdot 15=109-9=100$



La media del índice es 100 y su desviación típica 15.

$\textbf{b) Entre qué valores simétricos respecto a la media está el índice del 80 \% de los individuos de dicho estudio. [1 punto]}$

Se busca el intervalo centrado en la media que deja dentro el 80 % del área. Fuera queda el 20 %, repartido en dos colas iguales del 10 % cada una, de modo que a la izquierda del extremo derecho se acumula el 90 %.

$P(-k<Z<k)=0{,}80 \Rightarrow P(Z\leq k)=0{,}80+0{,}10=0{,}90$

$k=1{,}28$

Se deshace la tipificación en los dos extremos:

$x=\mu\pm k\sigma=100\pm 1{,}28\cdot 15=100\pm 19{,}2$



El índice del 80 % de los individuos está entre $80{,}8$ y $119{,}2$.