Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Sean las rectas

$r \equiv \dfrac{x}{2}=y-3=\dfrac{z-1}{-2}$ y $s \equiv \begin{cases} x=-2\lambda \\ y=\lambda \\ z=1+\lambda \end{cases}$

a) Estudie la posición relativa de las dos rectas $r$ y $s$. [1 punto]

b) Determine la ecuación del plano que pasa por el punto $P(1,\,1,\,-1)$ y es paralelo a las dos rectas $r$ y $s$. [1 punto]

Se leen de las ecuaciones un punto y un vector director de cada recta. La primera está en forma continua y la segunda en paramétricas:

$r:\ A(0,3,1),\ \vec v_{r}=(2,1,-2);\qquad s:\ B(0,0,1),\ \vec v_{s}=(-2,1,1)$

$\textbf{a) Estudie la posición relativa de las dos rectas } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{. [1 punto]}$

Lo primero es ver si los directores son proporcionales, porque de eso depende que las rectas sean paralelas o no.

$\dfrac{2}{-2}\neq\dfrac{1}{1}$

No lo son, así que las rectas o se cortan o se cruzan. Para distinguir los dos casos se calcula el producto mixto de los dos directores con el vector que une los puntos de paso: si es nulo las tres direcciones son coplanarias y las rectas se cortan.

$\overrightarrow{AB}=(0,0,1)-(0,3,1)=(0,-3,0)$

$\left[\overrightarrow{AB},\vec v_{r},\vec v_{s}\right]=\begin{vmatrix} 0 & -3 & 0 \\ 2 & 1 & -2 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

Desarrollando por la primera fila:

$=-(-3)\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}=3(2-4)=-6\neq 0$

El producto mixto no se anula, luego los tres vectores no son coplanarios.

Las rectas $r$ y $s$ se cruzan.

$\textbf{b) Determine la ecuación del plano que pasa por el punto } \boldsymbol{P(1,1,-1)}\textbf{ y es paralelo a las dos rectas } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{. [1 punto]}$

Que el plano sea paralelo a las dos rectas significa que los dos directores son paralelos al plano, de modo que el vector normal es perpendicular a ambos: se obtiene con su producto vectorial.

$\vec n=\vec v_{r}\times\vec v_{s}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & 1 & -2 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

$\vec n=(1+2)\vec i-(2-4)\vec j+(2+2)\vec k=(3,2,4)$

La ecuación del plano es entonces

$3x+2y+4z+D=0$

y se impone que pase por $P$:

$3\cdot 1+2\cdot 1+4\cdot(-1)+D=0 \Rightarrow 1+D=0 \Rightarrow D=-1$

$\pi:\ 3x+2y+4z-1=0$

Conviene comprobar que el plano es paralelo a las rectas y no las contiene, sustituyendo un punto de cada una:

$A(0,3,1):\ 0+6+4-1=9\neq 0;\qquad B(0,0,1):\ 0+0+4-1=3\neq 0$



El plano pedido es $\pi:\ 3x+2y+4z-1=0$, paralelo a las dos rectas y sin contener a ninguna de ellas.