Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

En un chiringuito de playa se instala un toldo para los clientes. El toldo se coloca en los siguientes puntos de apoyo: $\left(3,\,8,\,\frac{17}{2}\right)$, $\left(4,\,6,\,\frac{37}{4}\right)$, $(2,\,8,\,8)$ y $(s,\,16,\,8)$, con $s \in \mathbb{R}$.

a) Determine la ecuación del plano que contiene al toldo. [0,75 puntos]

b) Calcule el valor de $s$ para que los cuatro puntos sean coplanarios, es decir, para que estén en el mismo plano. [0,75 puntos]

c) Se quiere instalar un altavoz para poner música y este debe estar como mínimo a 2 metros de distancia del toldo. ¿Estará correctamente colocado si el altavoz se sitúa en el punto $(0,\,0,\,5)$? [0,5 puntos]

Se nombran los tres primeros puntos de apoyo:

$A\left(3,8,\dfrac{17}{2}\right);\qquad B\left(4,6,\dfrac{37}{4}\right);\qquad C(2,8,8)$

$\textbf{a) Determine la ecuación del plano que contiene al toldo. [0,75 puntos]}$

Un plano queda determinado por un punto y dos vectores independientes contenidos en él. Se toman los dos que salen de $A$:

$\overrightarrow{AB}=\left(1,-2,\dfrac{37}{4}-\dfrac{17}{2}\right)=\left(1,-2,\dfrac{3}{4}\right)$

$\overrightarrow{AC}=\left(-1,0,8-\dfrac{17}{2}\right)=\left(-1,0,-\dfrac{1}{2}\right)$

El vector normal es su producto vectorial:

$\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -2 & \frac{3}{4} \\ -1 & 0 & -\frac{1}{2} \end{vmatrix}$

$\vec n=\left(1,-\dfrac{1}{4},-2\right)$

Multiplicando por 4 se obtiene un normal más cómodo, $(4,-1,-8)$, y la ecuación del plano queda

$4x-y-8z+D=0$

Se impone que pase por $A$:

$4\cdot 3-8-8\cdot\dfrac{17}{2}+D=0 \Rightarrow 12-8-68+D=0 \Rightarrow D=64$

$\pi:\ 4x-y-8z+64=0$

Se comprueba con los otros dos puntos: $16-6-74+64=0$ y $8-8-64+64=0$.

$\textbf{b) Calcule el valor de } \boldsymbol{s}\textbf{ para que los cuatro puntos sean coplanarios, es decir, para que estén en el mismo plano. [0,75 puntos]}$

Basta imponer que el cuarto punto de apoyo verifique la ecuación del plano.

$4s-16-8\cdot 8+64=0$

$4s-16-64+64=0 \Rightarrow 4s=16 \Rightarrow s=4$

Para $s=4$ los cuatro puntos de apoyo son coplanarios y el toldo queda plano.

$\textbf{c) Se quiere instalar un altavoz para poner música y este debe estar como mínimo a 2 metros de distancia del toldo. ¿Estará correctamente colocado si el altavoz se sitúa en el punto } \boldsymbol{(0,0,5)}\textbf{? [0,5 puntos]}$

Se aplica la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

$d(S,\pi)=\dfrac{\left|4x_{0}-y_{0}-8z_{0}+64\right|}{\sqrt{4^{2}+(-1)^{2}+(-8)^{2}}}$

$d(S,\pi)=\dfrac{\left|0-0-40+64\right|}{\sqrt{16+1+64}}=\dfrac{24}{\sqrt{81}}=\dfrac{24}{9}$

$d(S,\pi)=\dfrac{8}{3}\approx 2{,}67\ \text{m}$



El altavoz está a $\frac{8}{3}$ metros del toldo, es decir, a unos 2,67 m, más de los 2 m exigidos: sí está correctamente colocado.