Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Conteste justificadamente los siguientes apartados.

a) Calcule el siguiente límite, con $a \neq 0$: [1 punto]

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{2\left(\frac{x}{\operatorname{sen} x}-1\right)}{a^{2}x^{2}}$

b) Sea la función $f(x)=x^{3}(x-1)^{2}+1$. Demuestre que la ecuación $f'(x)=0$ tiene alguna solución en $(0,1)$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule el siguiente límite, con } \boldsymbol{a \neq 0}\textbf{: [1 punto]}$

Al sustituir se obtiene la indeterminación $\frac{0}{0}$, porque $\frac{x}{\operatorname{sen} x}\to 1$. Conviene reunir primero el numerador en una sola fracción para dejar el cociente en forma manejable.

$\dfrac{x}{\operatorname{sen} x}-1=\dfrac{x-\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} x}$

$L=\lim_{x\to 0}\dfrac{2\left(x-\operatorname{sen} x\right)}{a^{2}x^{2}\operatorname{sen} x}$

Cuando $x\to 0$ se puede sustituir $\operatorname{sen} x$ por $x$ en el denominador, porque son infinitésimos equivalentes:

$L=\lim_{x\to 0}\dfrac{2\left(x-\operatorname{sen} x\right)}{a^{2}x^{3}}$

Sigue siendo $\frac{0}{0}$, así que se aplica la regla de L'Hôpital tres veces:

$L=\lim_{x\to 0}\dfrac{2\left(1-\cos x\right)}{3a^{2}x^{2}}=\lim_{x\to 0}\dfrac{2\operatorname{sen} x}{6a^{2}x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{2\cos x}{6a^{2}}$

$L=\dfrac{2}{6a^{2}}=\dfrac{1}{3a^{2}}$

El límite vale $\dfrac{1}{3a^{2}}$, que está bien definido porque el enunciado exige $a\neq 0$.

$\textbf{b) Sea la función } \boldsymbol{f(x)=x^{3}(x-1)^{2}+1}\textbf{. Demuestre que la ecuación } \boldsymbol{f'(x)=0}\textbf{ tiene alguna solución en } \boldsymbol{(0,1)}\textbf{. [1 punto]}$

Se aplica el teorema de Rolle, comprobando sus tres hipótesis en el intervalo $[0,1]$.

La función es polinómica, luego es continua en $[0,1]$ y derivable en $(0,1)$.

Falta ver que toma el mismo valor en los extremos:

$f(0)=0^{3}(0-1)^{2}+1=1$

$f(1)=1^{3}(1-1)^{2}+1=1$

$f(0)=f(1)=1$

Se cumplen las tres hipótesis, de modo que el teorema de Rolle garantiza que existe al menos un $c\in(0,1)$ con $f'(c)=0$.

Aunque no lo pide el enunciado, ese valor se puede localizar. Derivando y sacando factor común:

$f'(x)=3x^{2}(x-1)^{2}+x^{3}\cdot 2(x-1)=x^{2}(x-1)\left[3(x-1)+2x\right]$

$f'(x)=x^{2}(x-1)(5x-3)$

$f'(x)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=1 \\ x=\dfrac{3}{5} \end{cases}$

La única raíz interior es $c=\dfrac{3}{5}$, que es la que anuncia el teorema.