Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2026

Dada la función $f(x)=xe^{-2x^{2}}$:

a) Determine su dominio y las ecuaciones de sus asíntotas. [0,75 puntos]

b) Halle los extremos relativos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos de inflexión. [0,75 puntos]

c) Con la información obtenida en los apartados anteriores, represente la curva. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Determine su dominio y las ecuaciones de sus asíntotas. [0,75 puntos]}$

La función es producto de un polinomio y una exponencial, las dos definidas en todos los reales.

$\text{Dom } f=\mathbb{R}$

Al no haber puntos excluidos no hay asíntotas verticales. Para las horizontales se calcula el límite en el infinito, que es una indeterminación del tipo $\infty\cdot 0$ y se resuelve escribiendo la exponencial en el denominador:

$\lim_{x\to +\infty}xe^{-2x^{2}}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x}{e^{2x^{2}}}=0$

porque la exponencial es un infinito de orden superior al de cualquier potencia. Como la función es impar —$f(-x)=-f(x)$—, el límite en $-\infty$ también es 0.

La recta $y=0$ es asíntota horizontal en las dos ramas, y al haberla no hay asíntota oblicua.

$\textbf{b) Halle los extremos relativos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos de inflexión. [0,75 puntos]}$

Se deriva aplicando la regla del producto y se saca factor común la exponencial.

$f'(x)=e^{-2x^{2}}+x\cdot(-4x)e^{-2x^{2}}=e^{-2x^{2}}\left(1-4x^{2}\right)$

La exponencial es siempre positiva, así que el signo de la derivada es el de $1-4x^{2}$.

$f'(x)=0 \Rightarrow 1-4x^{2}=0 \Rightarrow x=\pm\dfrac{1}{2}$

$f'(-1)=-3e^{-2}<0;\qquad f'(0)=1>0;\qquad f'(1)=-3e^{-2}<0$



La función decrece en $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$, crece en $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ y vuelve a decrecer en $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$. Hay, por tanto, un mínimo relativo en $x=-\frac{1}{2}$ y un máximo relativo en $x=\frac{1}{2}$.

$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}e^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{e}}\approx 0{,}3033$

$f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{1}{2\sqrt{e}}\approx -0{,}3033$

Para los puntos de inflexión se deriva otra vez:

$f''(x)=-4xe^{-2x^{2}}\left(1-4x^{2}\right)+e^{-2x^{2}}(-8x)$

$f''(x)=e^{-2x^{2}}\left(-4x+16x^{3}-8x\right)=4xe^{-2x^{2}}\left(4x^{2}-3\right)$

$f''(x)=0 \Rightarrow 4x\left(4x^{2}-3\right)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$

En los tres la segunda derivada cambia de signo, porque las tres raíces son simples, de modo que los tres son puntos de inflexión:

$(0,0);\qquad \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}e^{-3/2}\right)\approx (0{,}87;\ 0{,}19);\qquad \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2}e^{-3/2}\right)$

$\textbf{c) Con la información obtenida en los apartados anteriores, represente la curva. [0,5 puntos]}$

La función es impar, así que su gráfica es simétrica respecto del origen; corta a los ejes solo en $(0,0)$ y se pega al eje de abscisas en las dos ramas.