Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2020

Un electrón, un protón y un neutrón, que se mueven en direcciones paralelas, con velocidades uniformes y la misma energía cinética, entran en una región en la que existe un campo magnético uniforme y perpendicular a sus velocidades. Razone si son ciertos o falsos los siguientes enunciados:

a) «Los tres conservan su energía cinética pero sólo el neutrón mantiene el mismo vector velocidad».
b) «El electrón y el protón describen ambos trayectorias circulares, siendo el radio de giro menor para este último».

Las tres partículas entran con la misma energía cinética y perpendicularmente al campo. Conviene escribir el radio de la trayectoria en función de la energía cinética, porque es lo que el enunciado mantiene fijo:

$|q|\,v\,B=\dfrac{m\,v^{2}}{R}\Rightarrow R=\dfrac{m\,v}{|q|\,B}$

$E_c=\dfrac12\,m\,v^{2}\Rightarrow m\,v=\sqrt{2\,m\,E_c}$

$R=\dfrac{\sqrt{2\,m\,E_c}}{|q|\,B}$

$\textbf{a) «Los tres conservan su energía cinética pero solo el neutrón mantiene el mismo vector velocidad».}$

VERDADERO. La fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad, de modo que no realiza trabajo y no puede cambiar el módulo de la velocidad: la energía cinética se conserva en las tres partículas.

Ahora bien, el neutrón no tiene carga, así que no experimenta fuerza alguna y sigue en línea recta con la misma velocidad, vector incluido. El protón y el electrón sí sufren fuerza y, aunque conserven el módulo de su velocidad, cambian continuamente su dirección: su vector velocidad no se mantiene.

$\textbf{b) «El electrón y el protón describen ambos trayectorias circulares, siendo el radio de giro menor para este último».}$

FALSO en su segunda parte. Es cierto que los dos describen circunferencias, pero el radio NO es menor para el protón, sino MUCHO MAYOR.

Los dos tienen el mismo valor absoluto de carga y la misma energía cinética, de modo que el radio solo depende de la raíz cuadrada de la masa:

$\dfrac{R_p}{R_e}=\sqrt{\dfrac{m_p}{m_e}}=\sqrt{\dfrac{1{,}67\cdot10^{-27}}{9{,}11\cdot10^{-31}}}=\sqrt{1833}=42{,}8$

El protón describe una circunferencia unas 43 veces mayor que la del electrón. Dicho de otro modo, el electrón se curva muchísimo más, tal y como muestra la figura.