Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Habitualmente calculamos la energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa $m$, situado a una altura $h$ sobre la superficie de la Tierra, como $E_{p} = m\,g\,h$. Deduzca dicha expresión a partir de la expresión general de la energía potencial gravitatoria indicando las aproximaciones realizadas.

La expresión general de la energía potencial gravitatoria, con el origen en el infinito, es:

$E_p=-G\dfrac{M_T\,m}{r}$

Lo que interesa no es su valor absoluto, sino la VARIACIÓN al subir el cuerpo desde la superficie hasta una altura $h$.





$\Delta E_p=-G\dfrac{M_T\,m}{R_T+h}+G\dfrac{M_T\,m}{R_T}$

Se saca factor común y se suman las fracciones:

$\Delta E_p=G\,M_T\,m\left(\dfrac{1}{R_T}-\dfrac{1}{R_T+h}\right)=G\,M_T\,m\cdot\dfrac{h}{R_T\left(R_T+h\right)}$

Hasta aquí no hay ninguna aproximación: la expresión es exacta. Ahora se introduce LA ÚNICA aproximación, y es la que da nombre al resultado:

$h\ll R_T\Rightarrow R_T+h\approx R_T$

es decir, se supone que la altura es despreciable frente al radio terrestre. Con ella:

$\Delta E_p\approx G\,M_T\,m\cdot\dfrac{h}{R_T^{2}}=m\left(\dfrac{G\,M_T}{R_T^{2}}\right)h$

Y el paréntesis es justamente la intensidad del campo gravitatorio en la superficie:

$g_0=\dfrac{G\,M_T}{R_T^{2}}\Rightarrow \Delta E_p=m\,g_0\,h$

De modo que $E_p=m\,g\,h$ es válida bajo dos condiciones: que la altura sea pequeña frente al radio terrestre, de manera que $g$ pueda considerarse constante, y que se tome la superficie como origen de energías potenciales, no el infinito. Para altitudes de unos pocos kilómetros el error es inapreciable; para un satélite, en cambio, la aproximación deja de valer por completo.