Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla y León · 2020

Una onda transversal se propaga a lo largo de una cuerda en el sentido positivo del eje $x$, a una velocidad de $40\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$. La gráfica representa la elongación de la cuerda respecto al tiempo en el punto $x = 0$. Determine la amplitud, la longitud de onda y la ecuación de la onda.

De la gráfica del enunciado, que representa la elongación de un punto fijo frente al tiempo, se leen dos cosas directamente.

La AMPLITUD es la elongación máxima:

$A=4\ \text{cm}=0{,}04\ \text{m}$

Y el PERIODO es el tiempo que tarda el punto en repetir su estado de vibración, que en la gráfica son dos segundos:

$T=2\ \text{s}\Rightarrow f=\dfrac1T=0{,}5\ \text{Hz}\qquad \omega=\dfrac{2\pi}{T}=\pi\ \text{rad/s}$

Con la velocidad de propagación, que da el enunciado, sale la longitud de onda:

$\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{40}{0{,}5}=80\ \text{m}$

$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{80}=\dfrac{\pi}{40}\ \text{rad/m}$

Falta la fase inicial. En la gráfica, en $t=0$ el punto $x=0$ está en la posición de equilibrio y sube, de modo que la ecuación se escribe con un seno y fase inicial nula. Como además la onda avanza en el sentido positivo del eje $x$:

$y(x,t)=A\operatorname{sen}\left(\omega\,t-k\,x\right)$

$y(x,t)=0{,}04\operatorname{sen}\left(\pi\,t-\dfrac{\pi}{40}\,x\right)\ \text{m}$

Se comprueba el resultado con la velocidad de propagación:

$v=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{\pi}{\pi/40}=40\ \text{m/s}$