Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

CHEOPS es un satélite de la Agencia Espacial Europea, de 300 kg de masa, que se encuentra orbitando a 700 km de altura sobre la superficie terrestre en una órbita aproximadamente circular. Calcule la energía requerida para que, desde la superficie de la Tierra, el satélite pasara a describir dicha órbita.

Datos: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$; $M_{\text{T}} = 5{,}98\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; $R_{\text{T}} = 6{,}37\cdot 10^{6}\ \text{m}$

La energía requerida es la diferencia entre la energía mecánica del satélite en la órbita y la que tenía en reposo sobre la superficie.

En la órbita circular la energía mecánica vale la mitad de la potencial:

$E_{\text{órbita}}=-G\dfrac{M_T\,m}{2\,r}$





El radio de la órbita se mide desde el centro de la Tierra:

$r=R_T+h=6{,}37\cdot10^{6}+7{,}00\cdot10^{5}=7{,}07\cdot10^{6}\ \text{m}$

$E_{\text{órbita}}=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}\cdot300}{2\cdot7{,}07\cdot10^{6}}=-8{,}46\cdot10^{9}\ \text{J}$

En la superficie el satélite está en reposo, de modo que solo tiene energía potencial:

$E_{\text{superficie}}=-G\dfrac{M_T\,m}{R_T}=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}\cdot300}{6{,}37\cdot10^{6}}$

$E_{\text{superficie}}=-1{,}88\cdot10^{10}\ \text{J}$

La energía requerida es la diferencia:

$\Delta E=E_{\text{órbita}}-E_{\text{superficie}}=-8{,}46\cdot10^{9}+1{,}88\cdot10^{10}$

$\Delta E=1{,}03\cdot10^{10}\ \text{J}$

Hicieron falta unos $1{,}03\cdot10^{10}\ \text{J}$ para poner el CHEOPS en su órbita.