Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla y León · 2020

Justifique la doble periodicidad de una onda a partir de su expresión matemática.

La ecuación de una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje $X$ es:

$y(x,t)=A\operatorname{sen}\left(\omega\,t-k\,x\right)=A\operatorname{sen}\left(2\pi\dfrac{t}{T}-2\pi\dfrac{x}{\lambda}\right)$

Escrita así, con el periodo y la longitud de onda en el denominador, la doble periodicidad se lee de un vistazo: la función depende del tiempo y de la posición, y es periódica en cada una de las dos variables por separado.

$\textbf{Periodicidad temporal.}$



Si se fija un punto de la cuerda, es decir, se mantiene $x$ constante, y se deja pasar un tiempo igual a un periodo:

$y(x,t+T)=A\operatorname{sen}\left(2\pi\dfrac{t+T}{T}-2\pi\dfrac{x}{\lambda}\right)=A\operatorname{sen}\left(2\pi\dfrac{t}{T}-2\pi\dfrac{x}{\lambda}+2\pi\right)$

y como el seno tiene periodo $2\pi$:

$y(x,t+T)=y(x,t)$

Ese punto repite su estado de vibración cada periodo $T$.

$\textbf{Periodicidad espacial.}$



Si ahora se congela el tiempo y se avanza una longitud de onda a lo largo de la cuerda:

$y(x+\lambda,t)=A\operatorname{sen}\left(2\pi\dfrac{t}{T}-2\pi\dfrac{x+\lambda}{\lambda}\right)=A\operatorname{sen}\left(2\pi\dfrac{t}{T}-2\pi\dfrac{x}{\lambda}-2\pi\right)$

$y(x+\lambda,t)=y(x,t)$

La forma de la cuerda se repite cada longitud de onda $\lambda$.

En resumen: la onda se repite en el TIEMPO cada periodo y en el ESPACIO cada longitud de onda. Las dos periodicidades están ligadas por la velocidad de propagación, que es lo que la onda avanza en un periodo:

$v=\dfrac{\lambda}{T}$