Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2020

Una partícula de masa $m$ y carga $q$ entra con velocidad $\vec{v}$ en una zona donde existe un campo magnético uniforme $\vec{B}$ (perpendicular a $\vec{v}$) y describe una trayectoria circular de radio $R$, como se ve en la figura. Deduzca la expresión de $R$ en términos de $m$, $q$, $v$ y $B$ y determine razonadamente el signo de $q$.

La partícula entra perpendicularmente al campo, de modo que la fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad:

$\vec F=q\left(\vec v\times\vec B\right)\qquad F=|q|\,v\,B$

Esa fuerza no cambia el módulo de la velocidad, solo su dirección: hace de fuerza centrípeta y la trayectoria es una circunferencia.





Igualando la fuerza magnética a la centrípeta:

$|q|\,v\,B=\dfrac{m\,v^{2}}{R}$

Se simplifica una $v$ en los dos miembros y se despeja el radio:

$R=\dfrac{m\,v}{|q|\,B}$

Esta es la expresión pedida: el radio es proporcional a la cantidad de movimiento e inversamente proporcional a la carga y al campo.

Para el signo de la carga hay que mirar la figura. La partícula entra por abajo moviéndose hacia arriba, el campo entra en el papel, y la trayectoria se curva hacia la IZQUIERDA. Eso significa que la fuerza, que apunta siempre al centro de la circunferencia, va dirigida hacia la izquierda en el momento de entrar.

Se comprueba con el producto vectorial. Con $\vec v=v\,\vec\jmath$ y $\vec B=-B\,\vec k$:

$\vec v\times\vec B=v\,B\left(\vec\jmath\times(-\vec k)\right)=-v\,B\,\vec\imath$

es decir, hacia la izquierda. Como la fuerza observada va precisamente en ese sentido:

$\vec F=q\left(\vec v\times\vec B\right)\Rightarrow q>0$

La carga es POSITIVA. Si fuese negativa, la fuerza apuntaría hacia la derecha y la trayectoria se curvaría hacia el otro lado.