Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Razone si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: «Para dos planetas de igual masa, pero diferente densidad media, la velocidad de escape desde la superficie es mayor para el planeta que tiene la menor densidad media».

La afirmación es FALSA. Ocurre justo al revés: con la misma masa, la velocidad de escape es MENOR en el planeta menos denso.

La velocidad de escape se obtiene igualando a cero la energía mecánica del cuerpo que se lanza:

$v_{\text{esc}}=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M}{R}}$

Como los dos planetas tienen la misma masa, la velocidad de escape solo depende del RADIO, y lo hace de forma inversa: cuanto mayor es el radio, menor es la velocidad de escape.

Ahora hay que relacionar el radio con la densidad. Para un planeta esférico:

$\rho=\dfrac{M}{V}=\dfrac{M}{\frac43\pi R^{3}}\Rightarrow R=\sqrt[3]{\dfrac{3\,M}{4\pi\,\rho}}$

Con la misma masa, MENOR densidad significa MAYOR radio: el planeta está más «hinchado». Y con mayor radio, la superficie está más lejos del centro, el campo gravitatorio allí es más débil y escapar cuesta menos.

Se puede escribir la relación completa sustituyendo el radio:

$v_{\text{esc}}=\sqrt{2\,G\,M}\cdot\left(\dfrac{4\pi\,\rho}{3\,M}\right)^{1/6}\propto\rho^{1/6}$

La velocidad de escape crece con la densidad, no decrece. La afirmación del enunciado es, por tanto, falsa.