Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla y León · 2020

Una onda armónica se desplaza por una cuerda y tiene la siguiente expresión en unidades del S.I.:

$y(x,\,t) = 0{,}06\ \operatorname{sen}\left(4\pi\,t - \frac{\pi}{6}x\right)$

Para el instante $t = 0{,}25\ \text{s}$, determine la elongación, la velocidad y la aceleración de un punto de la cuerda que se encuentra a 1,5 m del extremo situado en el origen de coordenadas.

De la ecuación de la onda se leen directamente la amplitud, la frecuencia angular y el número de onda:

$A=0{,}06\ \text{m}\qquad \omega=4\pi\ \text{rad/s}\qquad k=\dfrac{\pi}{6}\ \text{rad/m}$

La ELONGACIÓN se obtiene sustituyendo la posición y el instante en la propia ecuación:

$y=0{,}06\operatorname{sen}\left(4\pi\cdot0{,}25-\dfrac{\pi}{6}\cdot1{,}5\right)=0{,}06\operatorname{sen}\left(\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)$

$y=0{,}06\operatorname{sen}\dfrac{3\pi}{4}=0{,}0424\ \text{m}$

La VELOCIDAD de vibración es la derivada de la elongación respecto del tiempo, manteniendo fija la posición:

$v_y=\dfrac{\partial y}{\partial t}=0{,}06\cdot4\pi\cos\left(4\pi\,t-\dfrac{\pi}{6}x\right)$

$v_y=0{,}754\cos\dfrac{3\pi}{4}=-0{,}533\ \text{m/s}$

Y la ACELERACIÓN, la derivada segunda, que en un movimiento armónico simple es proporcional a la elongación y de signo contrario:

$a_y=\dfrac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}=-\omega^{2}\,y=-\left(4\pi\right)^{2}\cdot0{,}0424$

$a_y=-6{,}70\ \text{m/s}^{2}$

En ese instante el punto está por encima de la posición de equilibrio, a 4,24 cm, bajando a 0,533 m/s y con la aceleración dirigida hacia abajo, es decir, hacia el equilibrio, como corresponde a un oscilador.