Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla y León · 2021

Una fuente genera ondas armónicas de 0,4 mm de amplitud y 12000 Hz de frecuencia que se propagan a una velocidad de $340\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$ en el sentido positivo del eje $x$. Si en el instante inicial la elongación en el origen es cero, determine la ecuación general de la onda.

De los datos del enunciado salen directamente los tres parámetros de la onda. La amplitud:

$A=0{,}4\ \text{mm}=4\cdot10^{-4}\ \text{m}$

La frecuencia angular:

$\omega=2\pi f=2\pi\cdot12\,000=7{,}54\cdot10^{4}\ \text{rad/s}$

Y el número de onda, a partir de la longitud de onda:

$\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{340}{12\,000}=2{,}83\cdot10^{-2}\ \text{m}$

$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{2{,}83\cdot10^{-2}}=222\ \text{rad/m}$

Falta la fase inicial. Que en el instante inicial la elongación en el origen sea cero significa:

$y(0,0)=A\operatorname{sen}\varphi_0=0\Rightarrow \varphi_0=0$

Como la onda se propaga en el sentido positivo del eje $x$, la ecuación general queda:

$y(x,t)=A\operatorname{sen}\left(\omega\,t-k\,x\right)$

$y(x,t)=4\cdot10^{-4}\operatorname{sen}\left(7{,}54\cdot10^{4}\,t-222\,x\right)\ \text{m}$

Se puede comprobar el resultado calculando la velocidad a partir de los dos parámetros obtenidos:

$v=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{7{,}54\cdot10^{4}}{222}=340\ \text{m/s}$