Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla y León · 2021

Una onda armónica transversal se desplaza en el sentido positivo del eje X, tiene una amplitud de 8 cm, una longitud de onda de 4 cm y una frecuencia de 8 Hz. Si para $x = 0$ y $t = 0$ la elongación vale $y = 4\ \text{cm}$ y su velocidad es positiva, determine la ecuación de la onda y la distancia mínima que separa dos puntos de la onda cuya diferencia de fase es $\pi/2$ rad.

De los datos del enunciado salen directamente los tres parámetros de la onda:

$A=8\ \text{cm}=0{,}08\ \text{m}$

$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{0{,}04}=50\pi\ \text{rad/m}$

$\omega=2\pi f=2\pi\cdot8=16\pi\ \text{rad/s}$

Como la onda avanza en el sentido positivo del eje $X$:

$y(x,t)=A\operatorname{sen}\left(\omega\,t-k\,x+\varphi_0\right)$

La fase inicial sale de la condición del enunciado. En $x=0$ y $t=0$ la elongación es de 4 cm, la mitad de la amplitud:

$0{,}04=0{,}08\operatorname{sen}\varphi_0\Rightarrow \operatorname{sen}\varphi_0=0{,}5$

Eso admite dos soluciones, $\varphi_0=\pi/6$ y $\varphi_0=5\pi/6$, y para elegir hay que usar el otro dato: que la velocidad sea positiva.

$v_y=\dfrac{\partial y}{\partial t}=A\,\omega\cos\left(\omega\,t-k\,x+\varphi_0\right)$

$v_y(0,0)=A\,\omega\cos\varphi_0>0\Rightarrow \cos\varphi_0>0$

El coseno solo es positivo en el primer caso, así que $\varphi_0=\pi/6$ y la ecuación de la onda es:

$y(x,t)=0{,}08\operatorname{sen}\left(16\pi\,t-50\pi\,x+\dfrac{\pi}{6}\right)\ \text{m}$

Para la segunda parte, la diferencia de fase entre dos puntos separados $\Delta x$ en un mismo instante es:

$\Delta\varphi=k\,\Delta x\Rightarrow \dfrac{\pi}{2}=50\pi\,\Delta x$

$\Delta x=\dfrac{1}{100}=0{,}01\ \text{m}=1\ \text{cm}$

La distancia mínima es de 1 cm, es decir, un cuarto de la longitud de onda, como corresponde a un desfase de un cuarto de vuelta.