Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2022

Calcule la longitud de onda asociada a un electrón que, partiendo del reposo, es acelerado mediante una diferencia de potencial de 3250 V.

Datos: $h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$; $m_{\text{e}} = 9{,}11\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$; $e = 1{,}60\cdot 10^{-19}\ \text{C}$

El electrón parte del reposo, de modo que todo el trabajo que hace el campo eléctrico sobre él se convierte en energía cinética:

$e\,\Delta V=\dfrac12\,m_e\,v^{2}$

Se despeja la velocidad:

$v=\sqrt{\dfrac{2\,e\,\Delta V}{m_e}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}60\cdot10^{-19}\cdot3250}{9{,}11\cdot10^{-31}}}$

$v=3{,}38\cdot10^{7}\ \text{m/s}$

Y con ella, la longitud de onda asociada que predice la hipótesis de De Broglie:

$\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{m_e\,v}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{9{,}11\cdot10^{-31}\cdot3{,}38\cdot10^{7}}$

$\lambda=2{,}15\cdot10^{-11}\ \text{m}$

La longitud de onda asociada es de $2{,}15\cdot10^{-11}\ \text{m}$, es decir, 0,0215 nm. Es del orden de la separación entre los átomos de un cristal, y por eso electrones acelerados con unos pocos kilovoltios sirven para estudiar su estructura por difracción.