Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Castilla y León · 2022

Se desea proyectar un objeto sobre una pantalla situada a 36 cm del mismo y para ello se dispone de una lente de distancia focal 8 cm. Determine en qué posiciones se debe situar dicha lente y en cuál de ellas se obtiene una imagen de mayor tamaño que el objeto.

Para poder proyectar el objeto sobre una pantalla la imagen tiene que ser real, y con una lente convergente eso significa que se forma al otro lado. Si la lente está a una distancia $d$ del objeto:

$s=-d\qquad s'=36-d$

Se aplica la ecuación de las lentes delgadas con $f'=8\ \text{cm}$:

$\dfrac{1}{s'}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{f'}\Rightarrow \dfrac{1}{36-d}+\dfrac{1}{d}=\dfrac{1}{8}$

Se suman las fracciones y se ordena la ecuación:

$\dfrac{36}{d\,(36-d)}=\dfrac{1}{8}\Rightarrow d^{2}-36\,d+288=0$

$d=\dfrac{36\pm\sqrt{36^{2}-4\cdot288}}{2}=\dfrac{36\pm12}{2}$

Hay dos posiciones válidas: la lente puede colocarse a 12 cm o a 24 cm del objeto.



Con la lente a 12 cm del objeto:

$s=-12\ \text{cm}\qquad s'=36-12=24\ \text{cm}$

$\beta=\dfrac{s'}{s}=\dfrac{24}{-12}=-2$

La imagen es real, invertida y DOS VECES MAYOR que el objeto.



Con la lente a 24 cm del objeto:

$s=-24\ \text{cm}\qquad s'=36-24=12\ \text{cm}$

$\beta=\dfrac{s'}{s}=\dfrac{12}{-24}=-0{,}5$

Ahora la imagen es real e invertida, pero la MITAD de grande.

La imagen mayor se obtiene, por tanto, con la lente en la primera posición, a 12 cm del objeto: la que deja el objeto más cerca de la lente. Los dos aumentos son inversos el uno del otro, como ocurre siempre con este par de posiciones simétricas.