Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

Calcule la densidad media de Júpiter sabiendo que su radio es $R_{J} = 6{,}99\cdot 10^{4}\ \text{km}$ y que su satélite Calisto describe una órbita de radio $r = 1{,}88\cdot 10^{6}\ \text{km}$ en 16,9 días.

Dato: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$

Calisto describe una órbita circular alrededor de Júpiter, así que la atracción gravitatoria hace de fuerza centrípeta:

$G\dfrac{M_J\,m}{r^{2}}=m\,\dfrac{4\pi^{2}\,r}{T^{2}}$

de donde sale la masa del planeta, que es lo que hace falta para la densidad:

$M_J=\dfrac{4\pi^{2}\,r^{3}}{G\,T^{2}}$





Se pasan los datos a unidades del Sistema Internacional:

$r=1{,}88\cdot10^{6}\ \text{km}=1{,}88\cdot10^{9}\ \text{m}$

$T=16{,}9\ \text{días}\cdot86\,400\ \dfrac{\text{s}}{\text{día}}=1{,}46\cdot10^{6}\ \text{s}$

$M_J=\dfrac{4\pi^{2}\left(1{,}88\cdot10^{9}\right)^{3}}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\left(1{,}46\cdot10^{6}\right)^{2}}=1{,}84\cdot10^{27}\ \text{kg}$

Con el radio de Júpiter se obtiene su volumen, suponiéndolo esférico:

$R_J=6{,}99\cdot10^{4}\ \text{km}=6{,}99\cdot10^{7}\ \text{m}$

$V=\dfrac43\pi\,R_J^{3}=\dfrac43\pi\left(6{,}99\cdot10^{7}\right)^{3}=1{,}43\cdot10^{24}\ \text{m}^{3}$

Y por fin la densidad media:

$\rho=\dfrac{M_J}{V}=\dfrac{1{,}84\cdot10^{27}}{1{,}43\cdot10^{24}}=1{,}29\cdot10^{3}\ \text{kg/m}^3$

La densidad media de Júpiter es de unos $1{,}29\cdot10^{3}\ \text{kg/m}^3$, apenas superior a la del agua y cuatro veces menor que la de la Tierra: es un planeta gaseoso.