Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2023

Una carga total $Q$ se divide en dos cargas $q_{1}$ y $q_{2}$, que se sitúan a una distancia fija $d$ entre ellas. ¿Qué valor debe tener cada carga para que la fuerza entre ambas sea máxima?

La carga total se reparte entre las dos, de modo que si una vale $q_1$, la otra vale lo que falta:

$q_2=Q-q_1$

La fuerza entre ellas, separadas una distancia fija $d$, es la de Coulomb:

$F=K_0\dfrac{q_1\,q_2}{d^{2}}=\dfrac{K_0}{d^{2}}\,q_1\left(Q-q_1\right)$

Como $K_0$, $Q$ y $d$ son constantes, la fuerza solo depende de $q_1$, y lo hace a través de una parábola invertida. Su máximo se obtiene derivando e igualando a cero:

$\dfrac{dF}{dq_1}=\dfrac{K_0}{d^{2}}\left(Q-2\,q_1\right)=0$

$q_1=\dfrac{Q}{2}$

Y entonces la otra carga vale lo mismo:

$q_2=Q-\dfrac{Q}{2}=\dfrac{Q}{2}$

La fuerza es máxima cuando la carga se reparte a partes iguales, y su valor máximo es:

$F_{\max}=\dfrac{K_0}{d^{2}}\cdot\dfrac{Q}{2}\cdot\dfrac{Q}{2}=\dfrac{K_0\,Q^{2}}{4\,d^{2}}$

Que se trata de un máximo y no de un mínimo se ve en la propia figura, y también en la segunda derivada, que vale $-2K_0/d^{2}$ y es negativa.